Aufgaben:Exercise 5.1: Sampling Theorem: Difference between revisions

Revision as of 14:19, 19 April 2016

Gegeben ist ein Analogsignal x(t) entsprechend der Skizze. Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als BNF = 4 kHz beinhaltet. Durch Abtastung (Abtastrate fA) erhält man das in der Grafik rot eingezeichnete Signal xA(t). Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass mit dem Frequenzgang

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\

0  \\  \end{array} \right.\quad

\begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$

eingesetzt. Der Bereich zwischen den Frequenzen f1 und f2 > f1 ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant. Die Eckfrequenzen f1 und f2 sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal y(t) des Tiefpasses mit dem Signal x(t) exakt übereinstimmt. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.1. Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul: Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. a) Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt TA = 0.1 ms. Somit erhält man für die Abtastrate fA = 1/TA = 10 kHz. b) Das Spektrum XA(f) des abgetasteten Signals erhält man aus X(f) durch periodische Fortsetzung im Abstand fA = 10 kHz. Aus der Skizze erkennt man, dass XA(f) durchaus Anteile bei f = 2.5 kHz und f = 6.5 kHz besitzen kann, nicht jedoch bei f = 5.5 kHz. Auch bei f = 34.5 kHz wird XA(f) = 0 gelten. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 4.

c) Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit H(f) = 1 bewertet werden. Daraus folgt (siehe Skizze): f1, min = BNF = 4 kHz. d) Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von XA(f), die in X(f) nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt f2, max = fA – BNF = 6 kHz.

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 }}
-[[File:*|250px|right|*]]
+[[File:P_ID1126__Sig_A_5_1.png|250px|right|Abtasttheorem (Aufgabe A5.1)]]
+Gegeben ist ein Analogsignal x(t) entsprechend der Skizze. Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als BNF = 4 kHz beinhaltet. Durch Abtastung (Abtastrate fA) erhält man das in der Grafik rot eingezeichnete Signal xA(t).
+Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass mit dem Frequenzgang
+$$H(f)   = \left\{ \begin{array}{c} 1  \\
+  \\  \end{array} \right.\quad
+\begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}}
+\\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}}   \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c}
+|f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\
+|f| > f_2  \hspace{0.05cm} \\
+\end{array}$$
+eingesetzt. Der Bereich zwischen den Frequenzen f1 und f2 > f1 ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.
+Die Eckfrequenzen f1 und f2 sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal y(t) des Tiefpasses mit dem Signal x(t) exakt übereinstimmt.
+Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.1. Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul:
+Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
+{Ermitteln Sie aus der Grafik die zugrundeliegende Abtastrate.
+|type="{}"}
+$f_A=$ { 10 } kHz
+{Bei welchen Frequenzen besitzt XA(f) mit Sicherheit keine Anteile?
 |type="[]"}
-- Falsch
+- $f= $ { 2.5 } kHz
-+ Richtig
++ $f= $ { 5.5 } kHz
+- $f= $ { 6.5 } kHz
++ $f= $ { 34.5 } kHz
+{Bis zu welcher Eckfrequenz f1 wird das Signal perfekt rekonstruiert?
+|type="{}"}
+$f_{1,\text{min}}=$ { 4 } kHz
-{Input-Box Frage
+{Bis zu welcher Eckfrequenz f2 wird das Signal perfekt rekonstruiert?
 |type="{}"}
-<math> \alpha = </math> { 0.3 _5 }
+$f_{2,\text{min}}=$ { 6 } kHz
 </quiz>
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Antwort 1
+'''1.''' a)  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt TA = 0.1 ms. Somit erhält man für die Abtastrate fA = 1/TA = 10 kHz.
+b)  Das Spektrum XA(f) des abgetasteten Signals erhält man aus X(f) durch periodische Fortsetzung im Abstand fA = 10 kHz. Aus der Skizze erkennt man, dass XA(f) durchaus Anteile bei f = 2.5 kHz und f = 6.5 kHz besitzen kann, nicht jedoch bei f = 5.5 kHz. Auch bei f = 34.5 kHz wird XA(f) = 0 gelten. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 4.
+[[File:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png|250px|right|Zum Abtasttheorem (ML zu Aufgabe A5.1)]]
+c)  Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit H(f) = 1 bewertet werden. Daraus folgt (siehe Skizze): f1, min = BNF = 4 kHz.
+d)  Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von XA(f), die in X(f) nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt f2, max = fA – BNF = 6 kHz.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]

	$f= $ { 2.5 } kHz
	$f= $ { 5.5 } kHz
	$f= $ { 6.5 } kHz
	$f= $ { 34.5 } kHz