[[File:P_ID423__Sto_Z_4_7.png|right|frame|Vorgaben zur Erzeugung einer <br>2D-Zufallsgröße]]
[[File:P_ID423__Sto_Z_4_7.png|right|frame|Requirements for the generation of a <br>2D random variable]]
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$, die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
Given statistically independent quantities $u$ and $v$, both of which are uniformly distributed between $-1$ and $+1$ and thus each have variance $\sigma^2 = 2/3$ , generate a 2D random variable $(x, y)$ where for the components:
:$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
:$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
:$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$
:$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$
Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
The 2D–random variable $(x, y)$ to be generated should have the following statistical properties:
* Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Grafik.
* The random variable $x$ possess a triangular PDF $f_x(x)$ corresponding to the above graph.
* Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren Grafik.
* The random variable $y$ has a trapezoidal PDF $f_y(y)$ according to the lower graph.
Line 22:
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''Hints:''
''Hinweise:''
*The exercise belongs to the chapter [[Theory_of_Stochastic_Signals/Linear_Combinations_of_Random_Variables|Linear Combinations of Random Variables]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Theory_of_Stochastic_Signals/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
*In particular, reference is made to the page [Theory_of_Stochastic_Signals/Linear_Combinations_of_Random_Variables#Generation_of_correlated_random_variables|Generation of correlated random variables]].
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Theory_of_Stochastic_Signals/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
*To avoid ambiguity, it is specified that all coefficients $A$, ... , $F$ should be non-negative.
*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen.
===Fragebogen===
===Questions===
<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $C$ und $F$.
{Determine the coefficients $C$ and $F$.
|type="{}"}
|type="{}"}
$C \ = \ $ { 0. }
$C \ = \ $ { 0. }
Line 39:
Line 38:
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $A$ und $B$.
{Determine the coefficients $A$ and $B$.
|type="{}"}
|type="{}"}
$A \ = \ $ { 1.732 3% }
$A \ = \ $ { 1.732 3% }
Line 45:
Line 44:
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $D$ und $E$, wobei $D > E$ gelten soll.
{Determine the coefficients $D$ and $E$, where $D > E$ should hold.
|type="{}"}
|type="{}"}
$D \ = \ $ { 3.464 3% }
$D \ = \ $ { 3.464 3% }
Line 51:
Line 50:
{Geben Sie die Maximalwerte für $x$ und $y$ an.
{Specify the maximum values for $x$ and $y$ .
|type="{}"}
|type="{}"}
$x_\text{max}\ = \ $ { 3.464 3% }
$x_\text{max}\ = \ $ { 3.464 3% }
$y_\text{max}\ = \ $ { 6.196 3% }
$y_\text{max}\ = \ $ { 6.196 3% }
</quiz>
</quiz>
===Musterlösung===
===Solution===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Aufgrund der angegebenen Mittelwerte muss gelten:
'''(1)''' Given the mean values given, it must hold:
:$$ C = m_x\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
:$$ C = m_x\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
:$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
:$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
'''(2)''' Unter Berücksichtigung von $\sigma^2 = 2/3$ gilt:
'''(2)''' Taking into account $\sigma^2 = 2/3$ holds:
[[File:P_ID424__Sto_Z_4_7_d.png|right|frame|Rhombic two dimensional PDF]]
'''(3)''' Mit $ A = B = \sqrt{3}$ entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen für $D$ und $E$:
'''(3)''' With $ A = B = \sqrt{3}$ corresponding to the last subtask, two equations of determination remain for $D$ and $E$:
'''(4)''' Die Zufallsgröße $x$ bzw. $y$ nehmen ihre maximalen Werte an, wenn jeweils $u= +1$ und $v= +1$ gilt:
'''(4)''' The random variables $x$ and $y$ respectively, take their maximum values when respectively $u= +1$ and $v= +1$ holds:
Requirements for the generation of a 2D random variable
Given statistically independent quantities $u$ and $v$, both of which are uniformly distributed between $-1$ and $+1$ and thus each have variance $\sigma^2 = 2/3$ , generate a 2D random variable $(x, y)$ where for the components:
$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$
The 2D–random variable $(x, y)$ to be generated should have the following statistical properties:
Let the variances be $\sigma_x^2 = 4$ and $\sigma_y^2 = 10$.
Let the random variable $x$ be mean-free $(m_x =0)$.
For the mean of $y$ let $m_y = 1$ hold.
The correlation coefficient between $x$ and $y$ is $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
The random variable $x$ possess a triangular PDF $f_x(x)$ corresponding to the above graph.
The random variable $y$ has a trapezoidal PDF $f_y(y)$ according to the lower graph.
In particular, reference is made to the page [Theory_of_Stochastic_Signals/Linear_Combinations_of_Random_Variables#Generation_of_correlated_random_variables|Generation of correlated random variables]].
To avoid ambiguity, it is specified that all coefficients $A$, ... , $F$ should be non-negative.
