Aufgaben:Exercise 3.3: Sum of two Oscillations: Difference between revisions

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[[File:P_ID1084__Mod_A_3_3.png|right|frame|Two different Bessel spectra]]
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Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet bei Normierung auf die Trägeramplitude  $(A_{\rm T} = 1)$:   
The equivalent low-pass signal with phase modulation, when normalized to the carrier amplitude $(A_{\rm T} = 1)$ is:   
:$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
:$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu  $K_{\rm PM} = \rm 1/V$  angenommen.
The modulator constant is assumed to be  $K_{\rm PM} = \rm 1/V$  throughout the task.




Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion  $B_1(f)$, wenn das Quellensignal
The upper graph shows the corresponding spectral function  $B_1(f)$, when the source signal is
:$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
:$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$.  The weights of the Bessel-Dirac lines when  $η_1 = 0.9$  are obtained as follows:
anliegt.  Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit  $η_1 = 0.9$  wie folgt:
:$${\rm J}_0 (0.9)  = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm}
:$${\rm J}_0 (0.9)  = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm}
{\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$  
{\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$  
:$${\rm J}_2 (0.9)  = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm}  
:$${\rm J}_2 (0.9)  = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm}  
{\rm J}_3 (0.9)  \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \  \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
{\rm J}_3 (0.9)  \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \  \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.
Use the approximations given in the graph to simplify the calculations.


Die Besselfunktion  $B_2(f)$  ergibt sich für das Quellensignal
The Bessel function  $B_2(f)$  is obtained for the source signal
:$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$
:$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$
Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier  aus folgender Angabe:
The numerical values of the Dirac lines are obtained from the following:
:$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$
:$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$
Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals  $q_2(t)$  und des cosinusförmigen Trägersignals  $z(t)$  die Spektrallinien bei  $±3 \ \rm kHz$  jeweils positiv–imaginär sind.
From the graph, it can be seen that due to the cosine source signal  $q_2(t)$  and the cosine carrier signal $z(t)$ , the spectral lines at $±3 \ \rm kHz$  are both positive and imaginary.


Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal
In the context of this task, we will now investigate the case where the source signal
:$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$
:$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$
am Eingang des Phasenmodulators anliegt.  
is applied to the input of the phase modulator.  
*Zu erwähnen ist, dass &nbsp;$|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$&nbsp; gilt.  
*It is worth mentioning that &nbsp;$|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$&nbsp;.  
*Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe &nbsp;$A_1 + A_2$&nbsp; der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.
*This maximum value is slightly smaller than the sum &nbsp;$A_1 + A_2$&nbsp;of the individual amplitudes when a sine and a cosine function with the given amplitudes are added up.




Im Fragebogen bezeichnen
In the following questionnaire,
*$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; die Spektralfunktion des  äquivalenten Tiefpass–Signals,  
*$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; denotes the spectral function of the equivalent low-pass signal,
*$S_+(f)$&nbsp; die Spektralfunktionen des analytischem Signals,  
*$S_+(f)$&nbsp; denotes the spectral functions of the analytic signal,  




jeweils unter der Annahme, dass &nbsp;$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$&nbsp; anliegt und die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; beträgt.
in both cases assuming that &nbsp;$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$&nbsp; holds and that the carrier frequency is&nbsp;$f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp;.




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''Hinweise:''  
''Hints:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase_Modulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.  
*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.  

Revision as of 17:38, 14 March 2022

Two different Bessel spectra

The equivalent low-pass signal with phase modulation, when normalized to the carrier amplitude $(A_{\rm T} = 1)$ is: 

$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$

The modulator constant is assumed to be  $K_{\rm PM} = \rm 1/V$  throughout the task.


The upper graph shows the corresponding spectral function  $B_1(f)$, when the source signal is

$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$.  The weights of the Bessel-Dirac lines when  $η_1 = 0.9$  are obtained as follows:
$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm}

{\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$

$${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm}

{\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \ \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$ Use the approximations given in the graph to simplify the calculations.

The Bessel function  $B_2(f)$  is obtained for the source signal

$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$

The numerical values of the Dirac lines are obtained from the following:

$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$

From the graph, it can be seen that due to the cosine source signal  $q_2(t)$  and the cosine carrier signal $z(t)$ , the spectral lines at $±3 \ \rm kHz$  are both positive and imaginary.

In the context of this task, we will now investigate the case where the source signal

$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$

is applied to the input of the phase modulator.

  • It is worth mentioning that  $|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$ .
  • This maximum value is slightly smaller than the sum  $A_1 + A_2$ of the individual amplitudes when a sine and a cosine function with the given amplitudes are added up.


In the following questionnaire,

  • $S_{\rm TP}(f)$  denotes the spectral function of the equivalent low-pass signal,
  • $S_+(f)$  denotes the spectral functions of the analytic signal,


in both cases assuming that  $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$  holds and that the carrier frequency is $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ .





Hints:


Fragebogen

1 Es gelte  $q(t) = q_1(t)+q_2(t)$.  Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve  $s_{\rm TP}(t)$?

Die Ortskurve ist eine Ellipse.
Die Ortskurve ist ein Kreis.
Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis.
Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel  $90^\circ$.

2 Berechnen Sie die Spektralfunktion  $S_{\rm TP}(f)$.  Zwischen welchen Frequenzen  $f_{\rm min}$  und  $f_{\rm max}$  liegen Spektrallinien?

$f_{\rm min} \ = \ $ $\ \rm kHz$
$f_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm kHz$

3 Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei  $f = 0$.

${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $
${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $

4 Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei  $f = 1\ \rm kHz$.

${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $
${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

5 Berechnen Sie das Gewicht der  $S_+(f)$–Diracfunktion bei  $f = 98 \ \rm kHz$.

${\rm Re}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $
${\rm Im}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $


Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist die dritte Antwort:

  • Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger  $s_{\rm TP}(t)$  stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel:
$$2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ.$$
  • Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung  $166^\circ \approx 180^\circ$  ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.


(2)  Es gilt allgemein  $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$.

  • Da  $B_1(f)$  auf Frequenzen  $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$  und  $B_2(f)$  auf den Bereich  $±3 \ \rm kHz$  begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf  $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$  beschränkt.
  • Daraus folgt:
$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$
$$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$


(3)  Das Faltungsprodukt für die Frequenz  $f = 0$  ergibt sich durch Multiplikation von  $B_1(f)$  mit  $B_2(f)$  und anschließender Summation.

  • Nur für  $f = 0$  sind sowohl  $B_1(f)$  als auch  $B_2(f)$  von Null verschieden.
  • Damit erhält man:
$$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von  $B_2(f)$  nach rechts – oder von  $B_1(f)$  nach links – um  $1 \ \rm kHz$  erfolgen.  Somit erhält man:

$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz})
+  B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0)
= 0.1 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.9\hspace{0.15cm} = 0.36 + {\rm j} \cdot 0.03$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.36} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.03} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Die Diraclinie  $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$  entspricht der  $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei  $f = -2 \ \rm kHz$.  Diese ist

$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) +
B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$

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