Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.14Z: Offset QPSK vs. MSK"

Revision as of 16:28, 21 March 2022

Koeffizientenzuordnung bei O-QPSK und MSK

One possible implementation fordie $\rm MSK$ is offered by "Offset–QPSK" $\rm (O–QPSK)$, as can be seen from the block diagrams in the theory section.

In "normal offset QPSK operation", two bits of the source symbol sequence $〈q_k〉$ are assigned to one bit 𝑎Iν $a_{{\rm I}ν}$ in the in-phase branch and one bit $a_{{\rm Q}ν}$ in the quadrature branch, respectively.

The graph shows this serial-to-parallel conversion in the top three plots for the first four bits of the source signal $q(t)$. It should be noted:

Die Darstellung der Offset–QPSK gilt für einen rechteckigförmigen Grundimpuls. Die Koeffizienten $a_{{\rm I}ν}$ und $a_{{\rm Q}ν}$ können die Werte $±1$ annehmen.
Durchläuft der Zeitindex der Quellensymbole die Werte $k =1,$ ... $, 8$, so nimmt die Zeitvariable $ν$ nur die Werte $1,$ ... $, 4$ an.
Die Skizze berücksichtigt auch den Zeitversatz (Offset) für den Quadraturzweig.

Bei der "MSK–Realisierung mittels Offset–QPSK" ist eine Umcodierung erforderlich. Hierbei gilt mit $q_k ∈ \{+1, –1\}$ und $a_k ∈ \{+1, –1\}$:

$$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k \hspace{0.05cm}.$$

Beispielsweise erhält man unter der Annahme $a_0 = +1$:

$$a_1 = a_0 \cdot q_1 = +1,\hspace{0.4cm}a_2 = -a_1 \cdot q_2 = +1,\hspace{0.4cm} a_3 = a_2 \cdot q_3 = -1,\hspace{0.4cm}a_4 = -a_3 \cdot q_4 = -1 \hspace{0.05cm}.$$

Weiter ist zu berücksichtigen:

Die Koeffizienten $a_0 = +1$, $a_2 = +1$, $a_4 = -1$ sowie die noch zu berechnenden Koeffizienten $a_6$ und $a_8$ werden dem Signal $s_{\rm I}(t)$ zugeordnet.
Dagegen werden die Koeffizienten $a_1 = +1$ und $a_3 = -1$ sowie alle weiteren Koeffizienten mit ungeradem Index dem Signal $s_{\rm Q}(t)$ beaufschlagt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtlineare digitale Modulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Realisierung der MSK als Offset-QPSK.

In Aufgabe 4.14 wird die zugehörige Phasenfunktion $ϕ(t)$ ermittelt, wobei ebenfalls der (normierte) MSK–Grundimpuls zugrunde liegt:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\pi/2 \cdot t/T ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$

Fragebogen

$T_{\rm B} \ = \ $

$\ \rm µ s$

$T \ = \ $

$\ \rm µ s$

$a_{\rm I3} \hspace{0.25cm} = \ $

$a_{\rm Q3} \ = \ $

$a_{\rm I4} \hspace{0.25cm} = \ $

$a_{\rm Q4} \ = \ $

$T \ = \ $

$\ \rm µ s$

$a_5 \ = \ $

$a_6 \ = \ $

$a_7 \ = \ $

$a_8 \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Aus der oberen Skizze kann man $T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm µ s}$ ablesen.

(2) Bei QPSK bzw. Offset–QPSK ist aufgrund der Seriell–Parallel–Wandlung die Symboldauer $T$ doppelt so groß wie die Bitdauer $T_{\rm B}$:

$$ T = 2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Entsprechend der aus der Skizze für die ersten Bit erkennbaren Zuordnung gilt:

$$ a_{\rm I3} = q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$

$$a_{\rm Q3} = q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$

$$a_{\rm I4} = q_7 \hspace{0.15cm}\underline { = -1},$$

$$a_{\rm Q4} = q_8 \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Bei der MSK ist die Symboldauer $T$ gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$:

$$T = T_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 1\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Entsprechend der angegebenen Umcodiervorschrift gilt mit $a_4 = –1$:

$$q_5 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_5 = a_4 \cdot q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},$$

$$q_6 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_6 = -a_5 \cdot q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$

$$ q_7 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_7 = a_6 \cdot q_7 \hspace{0.15cm}\underline {= -1}, $$

$$q_8 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_8 = -a_7 \cdot q_8\hspace{0.15cm}\underline { = +1}\hspace{0.05cm}.$$

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 [[File:P_ID1742__Mod_Z_4_13.png|right|frame|Koeffizientenzuordnung bei O-QPSK und MSK]]
-Eine Realisierungsmöglichkeit für die&nbsp; $\rm MSK$&nbsp; bietet die&nbsp; "Offset–QPSK"&nbsp; $\rm (O–QPSK)$, wie aus den &nbsp;[[Modulation_Methods/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbildern]]&nbsp; im Theorieteil hervorgeht.
+One possible implementation fordie&nbsp; $\rm MSK$&nbsp; is offered by&nbsp; "Offset–QPSK"&nbsp; $\rm (O–QPSK)$, as can be seen from the &nbsp;[[Modulation_Methods/Nonlinear_Digital_Modulation#Realizing_MSK_as_Offset.E2.80.93QPSK|block diagrams]]&nbsp; in the theory section.
-Beim&nbsp; "normalen Offset–QPSK–Betrieb"&nbsp; werden jeweils zwei Bit der Quellensymbolfolge &nbsp;$〈q_k〉$&nbsp; einem Bit &nbsp;$a_{{\rm I}ν}$&nbsp; im Inphasezweig und sowie einem Bit &nbsp;$a_{{\rm Q}ν}$&nbsp; im Quadraturzweig zugeordnet.
+In "normal offset QPSK operation", two bits of the source symbol sequence&nbsp;$〈q_k〉$&nbsp;are assigned to one bit 𝑎Iν&nbsp;$a_{{\rm I}ν}$&nbsp; in the in-phase branch and one bit &nbsp;$a_{{\rm Q}ν}$&nbsp; in the quadrature branch, respectively.
-Die Grafik zeigt diese Seriell–Parallel–Wandlung in den drei oberen Diagrammen für die ersten vier Bit des grün gezeichneten Quellensignals &nbsp;$q(t)$.&nbsp; Dabei ist zu beachten:
+The graph shows this serial-to-parallel conversion in the top three plots for the first four bits of the source signal &nbsp;$q(t)$.&nbsp; It should be noted:
 * Die Darstellung der Offset–QPSK gilt für einen rechteckigförmigen Grundimpuls.&nbsp; Die Koeffizienten &nbsp;$a_{{\rm I}ν}$&nbsp; und &nbsp;$a_{{\rm Q}ν}$&nbsp; können die Werte &nbsp;$±1$&nbsp; annehmen.
 * Durchläuft der Zeitindex der Quellensymbole die Werte &nbsp;$k =1,$ ... $, 8$, so nimmt die Zeitvariable &nbsp;$ν$&nbsp; nur die Werte &nbsp;$1,$ ... $, 4$&nbsp; an.