Aufgaben:Exercise 4.15: MSK Compared with BPSK and QPSK

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Power-spectral densities:   BPSK, QPSK, MSK

Verglichen werden die Leistungsdichtespektren (im äquivalenten Tiefpassbereich) von

• Binary Phase Shift Keying  $\rm (BPSK)$,
• Quaternary Phase Shift Keying  $\rm (QPSK)$,
• Minimum Shift Keying  $\rm (MSK)$.

Diese sind in der Grafik logarithmisch dargestellt, wobei die Frequenz auf den Kehrwert der Bitdauer  $T_{\rm B}$  normiert ist.

Für die BPSK und die QPSK ist jeweils ein rechteckförmiger Grundimpuls der Höhe  $s_0$  und der Symboldauer  $T$  vorausgesetzt.  Damit gilt für die BPSK und die QPSK  (bzw. die 4–QAM und die Offset–QPSK)  gleichermaßen:

$${\it \Phi}_{s}(f) = \frac{s_0^2 \cdot T}{4} \cdot \big [ {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f- f_{\rm T}) ) + {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f+ f_{\rm T}) ) \big ]\hspace{0.05cm},$$

und in den äquivalenten Tiefpassbereich transformiert:

$$ {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = \frac{s_0^2 \cdot T}{2} \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ) \hspace{0.05cm}.$$

Trotz gleicher Formel weisen die BPSK und die QPSK unterschiedliche Leistungsdichtespektren auf:

• Bei der BPSK  (graue Kurve)  ist die Symboldauer  $T$  gleich der Bitdauer  $T_{\rm B}$  und es gilt mit der Energie pro Bit  $(E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2)$ :

$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = E_{\rm B} \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T_{\rm B} ) \hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen ist bei der QPSK (blaue Kurve) bei gleichem  $E_{\rm B}$  die Symboldauer  $T$  doppelt so groß:

$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = 2 \cdot E_{\rm B} \cdot {\rm si}^2 ( 2\pi f T_{\rm B} ) \hspace{0.05cm}.$$

Bei der Berechnung des MSK–Spektrums (rote Kurve) kann berücksichtigt werden, dass die MSK als Offset–QPSK entsprechend dem  Block diagram  im Theorieteil realisiert werden kann, wenn der folgende Grundimpuls verwendet wird:

$$g(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\pi/2 \cdot t/T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

In der  Exercise 4.15Z  wird die zugehörige Spektralfunktion berechnet:

$$G(f) = \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$

Additionally, consider:

• Die beiden Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  sind trotz der Vorcodierung unkorreliert.
• Bei MSK ist entgegen der QPSK wie bei der BPSK  $T = T_{\rm B}$  zu setzen.
• Auch bei MSK ist die Energie pro Bit wie folgt gegeben:   $E_{\rm B} = s_0^2 · T/2$.
• Der Betrag des Tiefpass–Signals  $|s_{\rm TP}(t)| = s_0$  ist gleich dem Maximalwert  $g_0$  des Grundimpulses  $g(t)$.

Hints:

• This exercise belongs to the chapter  Nonlinear Digital Modulation.
• Particular reference is made to the section  Realizing MSK as Offset–QPSK.

• Das Leistungsdichtespektrums im äquivalenten Tiefpassbereich eines Zweiges – zum Beispiel:  Inphasekomponente – lautet:

$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = \frac{1}{2 T} \cdot {\rm E} \left [ a_\nu ^2 \right ] \cdot |G(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Questions

1

Bei welcher Frequenz  $f_1$  hat das BPSK–Leistungsdichtespektrum seine erste Nullstelle?  Der Bezugswert ist die Bitrate  $1/T_{\rm B}$.

$f_1 \ = \ $ $\ \cdot 1/T_{\rm B}$

2

Bei welcher Frequenz  $f_1$  hat das QPSK–Leistungsdichtespektrum seine erste Nullstelle?

$f_1 \ = \ $ $\ \cdot 1/T_{\rm B}$

3

Wie lautet das MSK–Leistungsdichtespektrum im äquivalenten TP–Bereich?  Welcher LDS–Wert  $($normiert auf  $E_{\rm B})$  tritt bei  $f = 0$  auf?

${\itΦ}_\text{s, TP}(f = 0) \ = \ $ $\ \cdot E_{\rm B}$

4

Welche Aussagen treffen hinsichtlich des asymptotischen Spektralverhaltens zu?

	Die erste LDS–Nullstelle kommt bei MSK früher als bei QPSK.
	Das MSK–Leistungsdichtespektrum klingt schneller ab im Vergleich zur QPSK.
	Bei MSK ist das Integral über  ${\itΦ}_\text{s, TP}(f)$  (nicht logarithmiert!)  größer als bei QPSK.

Solution

Solution

(1)  Aus Gleichung und Grafik erkennt man, dass bei  Binary Phase Shift Keying  $\rm (BPSK)$  die erste Nullstelle des Leistungsdichtespektrums bei  $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =1} \cdot 1/T_{\rm B}$  liegt.

(2)  Aufgrund der niedrigeren Symbolrate $1/T$ ist bei  Quaternary Phase Shift Keying  $\rm (QPSK)$  – und bei allen verwandten quaternären Modulationsverfahren – das Spektrum nur halb so breit wie bei der BPSK   ⇒   $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5} \cdot 1/T_{\rm B}$.

(3)  Für das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$  des Gesamtsignals gilt im äquivalenten Tiefpassbereich:

$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) + {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm Q},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= 2 \cdot {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = {1}/{ T} \cdot |G(f)|^2\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass

• die Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  unkorreliert sind, so dass man die LDS–Anteile addieren kann,
• wegen der binären bipolaren Amplitudenkoeffizienten der Erwartungswert  $E[a_ν^2] = 1$  ist.

Damit erhält man:

$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{1}{ T} \cdot \left ( \frac {4}{\pi} \right ) ^2 \cdot g_0^2 \cdot T^2 \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi f T )}{ \big [1 - (4 f T)^2 \big ] ^2} \hspace{0.05cm}.$$

Mit  $s_0 = g_0$,  $T = T_{\rm B}$  und  $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$  gilt weiter:

$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi \cdot f \cdot T_{\rm B} )}{ \big [1 - (4 \cdot f \cdot T_{\rm B})^2 \big ] ^2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f = 0 )= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.243 \cdot E_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:

• Bereits aus der Grafik ist zu ersehen, dass die erste Aussage falsch und die zweite richtig ist.
• Der Lösungsvorschlag 3 stimmt ebenfalls nicht.  Das Integral über die Leistungsdichtespektren ergibt die Leistung  $(E_{\rm B}/T_{\rm B})$.
• Die Signalverläufe von BPSK, QPSK und MSK machen deutlich, dass die Leistung bei konstanter Hüllkurve  $(s_0)$  für diese drei Modulationsverfahren gleich ist.