Digital Signal Transmission/Linear Nyquist Equalization

1. Digital Signal Transmission
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Linear Nyquist Equalization

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Structure of the optimal Nyquist equalizer

Block diagram of the optimal Nyquist equalizer

In this section we assume the following block diagram of a binary system. In this regard, it should be noted:

• The Dirac source provides the message to be transmitted in binary bipolar form   ⇒   amplitude coefficients  $a_\nu \in \{ -1, \hspace{0.05cm}+1\}$. The source is assumed to be redundancy-free.
  

• The transmission pulse shape  $g_s(t)$  is taken into account by the transmitter frequency response  $H_{\rm S}(f)$.  In all examples,  $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$  is based   ⇒   NRZ rectangular transmission pulses.
  

In some derivations, transmitter and channel are combined by the common frequency response  $H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$. 

• The receiver filter  $H_{\rm E}(f)$  is multiplicatively composed of the  matched filter  $H_{\rm MF}(f) = H_{\rm SK}^\star(f)$  and the  Transversalfilter  $H_{\rm TF}(f)$ zusammen, zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.

• Der Gesamtfrequenzgang zwischen Diracquelle und Schwellenwertentscheider soll die   erste Nyquistbedingung  erfüllen. Es muss also gelten:

$$H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = H_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.05cm}.$$

• Mit dieser Bedingung gibt es keine Impulsinterferenzen und man erhält die maximale Augenöffnung. Deshalb gelten für das  Detektions–SNR  und den  Systemwirkungsgrad  bei binärer Signalisierung:

$$\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}} = \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0} = \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf, das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  so zu bestimmen, dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:

\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ T} =T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]

$\text{Definition:}$  Wir bezeichnen die hier beschriebene Konfiguration als  Optimale Nyquistentzerrung (ONE). Obwohl diese auch – und besonders effektiv – bei Mehrstufensystemen anwendbar ist, setzen wir zunächst  $M = 2$.

Mode of action of the transversal filter

Transversalfilter (zweiter Ordnung) als Teil des optimalen Nyquistentzerrers

Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters

$$H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T) $$

mit folgenden Eigenschaften:

• $N$  gibt die Ordnung des Filters an   ⇒   die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung  $(N=2)$.
• Für die Filterkoeffizienten gilt  $k_{-\lambda} = k_{\lambda}$   ⇒   symmetrische Struktur   ⇒   $H_{\rm TF}(f)$ ist reell.
• $H_{\rm TF}(f)$  ist somit durch die Koeffizienten  $k_0$, ... , $k_N$  vollständig bestimmt.

Für den Eingangsimpuls  $g_m(t)$  setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser

• symmetrisch um  $t=0$  ist (Ausgang des Matched–Filters),
  
• zu den Zeiten  $\nu \cdot T$  und  $-\nu \cdot T$  jeweils den Wert  $g_m(\nu)$ besitzt.
  

Damit lauten die Eingangsimpulswerte:

$$\text{...}\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace {0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm} \text{...}\hspace{0.05cm}.$$

Für den Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten  $\nu \cdot T$  mit den Abkürzungen  $g_0 =g_d(t= 0)$,   $g_1 =g_d(t= \pm T)$,   $g_2 =g_d(t= \pm 2T)$  folgende Werte:

$$ t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.9cm}g_0 = k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2 \cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm} $$

$$ t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.45cm}g_1 = k_0 \cdot g_m(1) + k_1 \cdot \big [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3) \big ], $$

$$ t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot g_m(2) + k_1 \cdot \big [g_m(1)+g_m(3)\big ]+ k_2 \cdot \big [g_m(2)+g_m(4)\big ] \hspace{0.05cm}. $$

Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten  $k_0$,  $k_1$  und  $k_2$  so bestimmen, dass der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  folgende Stützstellen aufweist:

$$\text{...}\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} \text{...}$$

$\text{Beispiel 1:}$  Wir gehen von dem symmetrischen Eingangssignal entsprechend dem oberen Diagramm in der Grafik aus. Mit der Abkürzung  $g_m(\nu)= g_m(\pm \nu \cdot T)$  gibt es folgende Abtastwerte im Abstand der Symboldauer  $T$:

$$g_m(t) = {\rm e}^{ - \sqrt{2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert /T} }\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} g_m(0) = 1 ,\hspace{0.35cm}g_m(1)= 0.243,\hspace{0.35cm}g_m(2)= 0.135,\hspace{0.35cm}g_m(3)= 0.086, \hspace{0.35cm}g_m(4)= 0.059 \hspace{0.05cm}.$$

Für den Ausgangsimpuls soll  $g_d(t =0) = 1$  und  $g_d(t =\pm T) = 0$  gelten. Hierzu eignet sich ein Laufzeitfilter erster Ordnung mit den Koeffizienten  $k_0$  und  $k_1$, die folgende Bedingungen erfüllen müssen:

Eingangs- und Ausgangsimpuls des optimalen Nyquistentzerrers

$$t = \pm T\hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot \big [1.000 +0.135 \big ] = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{k_1} = -0.214 \cdot {k_0}\hspace{0.05cm},$$

$$ t = 0 \hspace{-0.1cm} : \hspace{0.6cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243= 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}0.896 \cdot {k_0} = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus erhält man die optimalen Filterkoeffizienten  $k_0 = 1.116$  und  $k_1 = 0.239$.

• Das mittlere Diagramm zeigt, dass damit der erste Vorläufer und der erste Nachläufer kompensiert werden können und zugleich  $g_d(0) =1$  gilt (gelbe Hinterlegung).
• Die weiteren Detektionsgrundimpulswerte (blaue Kreise) sind aber von Null verschieden und bewirken Impulsinterferenzen.
  
  

Das untere Diagramm zeigt, dass mit einem Filter zweiter Ordnung  $(N = 2)$  Nulldurchgänge bei  $\pm T$  und bei  $\pm 2T$  erzwungen werden, wenn die Koeffizienten  $k_0 = 1.127$,  $k_1 = 0.219$  und  $k_2 = 0.075$  geeignet gewählt sind. Das Gleichungssystem zur Bestimmung der optimalen Koeffizienten lautet dabei:

$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.85cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243 + k_2 \cdot 2 \cdot 0.135 = 1\hspace{0.05cm},$$

$$t= \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.45cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot \big [1.000+0.135 \big ]+ k_2 \cdot \big [0.243+0.086 \big ] = 0\hspace{0.05cm},$$

$$t = \pm 2 T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot 0.135 + k_1 \cdot \big [0.243+0.086\big ]+ k_2 \cdot \big [1.000 + 0.059 \big ]= 0 \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$  Die Ergebnisse können wie folgt verallgemeinert werden:

• Mit einem Laufzeitfilter  $N$–ter Ordnung können der Hauptwert  $g_d(0)$  zu Eins (normiert) sowie die ersten $N$  Nachläufer  $g_{\nu}$  und die ersten $N$  Vorläufer  $g_{-\nu}$  zu Null gemacht werden.
  

• Weitere Vor– und Nachläufer  $(\nu \gt N)$  lassen sich so nicht kompensieren. Es ist sogar möglich, dass die Vor– und Nachläufer außerhalb des Kompensationsbereichs vergrößert werden oder sogar neu entstehen.
  

• Im Grenzübergang  $N \to \infty$  (in der Praxis heißt das:   ein Filter mit sehr vielen Koeffizienten) ist eine vollständige Nyquistentzerrung und damit eine impulsinterferenzfreie Übertragung möglich.

Beschreibung im Frequenzbereich

Die Tatsache, dass sich der optimale Nyquistentzerrer multiplikativ aus

• dem Matched–Filter  $H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^\star (f)\cdot H_{\rm K}^\star(f)$  – also angepasst an den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t)$  – und
  
• einem Transversalfilter  $H_{\rm MF}(f)$  mit unendlich vielen Filterkoeffizienten
  
  

zusammensetzt, folgt aus dem ersten Nyquistkriterium. Durch Anwendung der  Variationsrechnung  erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters – siehe [ST85]:

$$H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - \frac{\kappa}{T}) |^2} \hspace{0.3cm}{\rm{mit}}\hspace{0.3cm}H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$

Die linke Grafik zeigt den Funktionsverlauf  $20 \cdot \lg \ H_{\rm TF}(f)$  im Bereich  $| f | \le 1/T$. Vorausgesetzt sind hierfür rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse und ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$.

(Betrags–) Frequenzgang des Transversalfilter (links) und des gesamten optimalen Nyquistentzerrers (rechts)

Man erkennt aus obiger Gleichung und der linken Grafik:

• $H_{\rm TF}(f)$  ist reell, woraus sich die symmetrische Struktur des Transversalfilters ergibt:   $k_{-\lambda} =k_{+\lambda} $.
  
• $H_{\rm TF}(f)$  ist gleichzeitig eine mit der Frequenz  $1/T$  periodische Funktion.
  
• Die Koeffizienten ergeben sich somit aus der  Fourierreihe  (angewandt auf die Spektralfunktion):

$$k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)} {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) = \sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.$$

In der rechten Grafik ist der Frequenzgang  $20 \cdot \lg \ |H_{\rm E}(f)|$  des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched–Filter dargestellt. Es gilt:

$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = \frac{H_{\rm SK}^{\star}(f)}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}.$$

Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:

• Für  $a_\star = 0 \ \rm dB$  (idealer Kanal, grüne Null–Linie) kann auf das Transversalfilter $H_{\rm TF}(f)$ verzichtet werden und es gilt für NRZ–Rechteckimpulse, wie bereits im Abschnitt  Optimaler Binärempfänger – Realisierung mit Matched-Filter  hergeleitet:

$$H_{\rm E}(f) =H_{\rm S}(f) = {\rm si} (\pi f T).$$

• Während der Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  bei  $a_\star \ne 0 \ \rm dB$  symmetrisch zur Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$  ist, ist diese Symmetrie beim Empfangsfilter–Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  nicht mehr gegeben.
  
• Die Maxima der Frequenzgänge  $H_{\rm TF}(f)$  und  $|H_{\rm E}(f)|$  hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  ab. Aus dem blauen bzw. roten Funktionsverlauf kann abgelesen werden:

$$a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ |H_{\rm E}(f)| \ \big] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$

$$a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big] \approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ |H_{\rm E}(f)|\ \big] \approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Approximation des optimalen Nyquistentzerrers

Optimaler Nyquistfrequenzgang bei einem Koaxialkabel

Wir betrachten nun den Gesamtfrequenzgang zwischen Diracquelle und Entscheider.

• Dieser setzt sich multiplikativ aus den Frequenzgängen von Sender, Kanal und Empfänger zusammen.
• Entsprechend der Herleitung muss der Gesamtfrequenzgang die Nyquistbedingung erfüllen:

$$H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = \frac{|H_{\rm SK}(f)|^2}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt folgende Eigenschaften des optimalen Nyquistentzerrers (ONE):

• Ist die Kabeldämpfung hinreichend groß  $(a_\star \ge 10 \ \rm dB)$, so kann man den Gesamtfrequenzgang mit guter Näherung durch den   Cosinus–Rolloff–Tiefpass  beschreiben.
  

• Je größer  $a_\star$  ist, desto kleiner ist der Rolloff–Faktor  $r$  und um so steiler verläuft der Flankenabfall. Für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  (blaue Kurve) ergibt sich  $r \approx 0.4$, für  $a_\star = 80 \ \rm dB$  (rote Kurve) $r \approx 0.18$.
  

• Oberhalb der Frequenz  $f_{\rm Nyq} \cdot (1 + r)$  besitzt  $H_{\rm Nyq}(f)$  keine Anteile. Bei idealem Kanal   ⇒    $a_\star = 0 \ \rm dB$  (grüne Kurve) reicht  $H_{\rm Nyq}(f)= {\rm si}^2(\pi f T)$  allerdings theoretisch bis ins Unendliche.

Das interaktive Applet Frequenzgang und Impulsantwort verdeutlicht unter anderem die Eigenschaften des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses.

Berechnung der normierten Störleistung

Wir betrachten nun noch die (normierte) Störleistung am Entscheider. Für diese gilt:

$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ (2T)} =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f .$$

Zur Berechnung der normierten Störleistung beim ONE

• Das linke Diagramm der Grafik zeigt  $|H_{\rm E}(f)|^2$  im linearen Maßstab für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$. Beachten Sie, dass  $|H_{\rm E}(f = 0)|^2 = 1$  ist.

• Da die Frequenz in dieser Darstellung auf  $1/T$  normiert wurde, entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve. Die numerische Auswertung ergibt:

$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx 72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

• Es kann gezeigt werden, dass die normierte Störleistung allein mit dem Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  berechnet werden kann, wie in der rechten Grafik dargestellt:

$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.3cm}(= k_0)\hspace{0.05cm}.$$

• Die roten Flächen sind in beiden Bildern exakt gleich.

$\text{Fazit:}$  Die normierten Störleistung des optimalen Nyquistentzerrers ist gleich dem Fourierkoeffizienten  $k_0$, wenn man den reellen, symmetrischen und periodischen Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  als Fourierreihe darstellt.

Koeffizienten des optimalen Nyquistentzerrers

• In der zweiten Spalte der Tabelle ist  $10 \cdot \lg \ (k_0)$  abhängig von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  eines Koaxialkabels angegeben.
• Aufgrund der gewählten Normierung gilt die Tabelle auch für  redundanzfreie Mehrstufensysteme; hierbei bezeichnet  $M$  die Stufenzahl.
  
• Die Koeffizienten  $k_1$,  $k_2$,  $k_3$, ... des Transversalfilters weisen für  $a_\star \ne 0 \ \rm dB$  alternierende Vorzeichen auf.
• Für  $a_\star = 40 \ \rm dB$  sind vier Koeffizienten betragsmäßig größer als  $k_0/10$, für  $a_\star = 80 \ \rm dB$  sogar sieben.

Vergleich anhand des Systemwirkungsgrades

Für einen Systemvergleich eignet sich der  Systemwirkungsgrad, der das erreichbare Detektions–SNR  $\rho_d$  in Bezug zum maximalen SNR  $\rho_{d, \ {\rm max}}$  setzt, das allerdings nur bei idealem Kanal  $H_{\rm K}(f) \equiv 1$  erreichbar ist. Für den Systemwirkungsgrad gilt bei  $M$–stufiger Übertragung und optimaler Nyquistentzerrung:

$$\eta = \frac{\rho_d}{s_0^2 \cdot T / N_0}=\frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}M}{(M-1)^2 \cdot k_0}.$$

Die (normierte) Störleistung  $k_0$  kann aus der   Tabelle  auf der letzten Seite abgelesen werden. Beachten Sie die Normierung der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  in der ersten Spalte. Die folgende Tabelle aus [ST85] ermöglicht einen Systemvergleich für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$.

Vergleich binärer und mehrstufiger Ünertragungssysteme gemäß  $\text{GTP}$  bzw.  $\text{ONE}$

Verglichen werden:

• der gaußförmige Gesamtfrequenzgang  $\text{(GTP)}$, der auch bei Optimierung zu einem impulsinterferenzbehafteten System führt,
  

• der  optimale Nyquistentzerrer  $\text{(ONE)}$, mit dem Impulsinterferenzen per se ausgeschlossen werden.

$\text{Fazit:}$  Die Ergebnisse dieses Systemvergleichs können wie folgt zusammengefasst werden:

• Im binären Fall  $(M = 2)$  ist das impulsinterferenzfreie System  $\text{(ONE)}$  um etwa  $6 \ \rm dB$  besser als das impulsinterferenzbehaftete System  $\text{(GTP)}$.
  
• Wendet man die optimale Nyquistentzerrung bei Mehrstufensystemen an, so ist gegenüber  $\text{GTP}$  ein weiterer, deutlicher Störabstandsgewinn möglich. Für  $M =4$  beträgt dieser Gewinn etwa  $18.2 \ \rm dB$.
  
• Das schmalbandige  $\text{GTP}$–System kann allerdings deutlich verbessert werden, wenn man einen Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung verwendet. Dieser wird im nächsten Kapitel behandelt.

Wir verweisen an dieser Stelle auf das interaktive Applet Lineare Nyquistentzerrung.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.6: Transversalfilter des Optimalen Nyquistentzerrers

Aufgabe 3.6Z: Optimaler Nyquistentzerrer für Exponentialimpuls

Aufgabe 3.7: Nochmals Optimale Nyquistentzerrung

Aufgabe 3.7Z: Regeneratorfeldlänge