Aufgaben:Exercise 4.2Z: Eight-level Phase Shift Keying

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Signal space points at 8-PSK

The  $M = 8$  possible transmitted signals at 8–PSK are with  $i = 0, \ \text{...} \ , 7$  in the range  $0 ≤ t < T$:

$$s_i(t)= A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + i \cdot {\pi}/{4}) \hspace{0.05cm}.$$

Outside the symbol duration  $T$,  the signals  $s_i(t)$  are all zero.

In   "Exercise 4.2"  it was shown that this signal set is given by the basis functions

$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},$$

$$\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}$$

wie folgt dargestellt werden kann  $(i = 0, \ \text{...} \ , 7)$:

$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$

Die äquivalente Tiefpassdarstellung der Signale  $s_i(t)$  lautet entsprechend dem Abschnitt  Systembeschreibung durch das äquivalente Tiefpass–Signal  des Buches "Modulationsverfahren":

$$s_{{\rm TP}i}(t)= a_{i} \cdot g_s(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}a_{i} = a_{{\rm I}i} + {\rm j} \cdot a_{{\rm Q}i} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}i = 0,\text{...} \hspace{0.1cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$

wobei  $a_i$  komplexe dimensionslose Koeffizienten sind und die Energie des Sendegrundimpulses  $g_s(t)$  im Tiefpassbereich  $E_{\it g_s}$  beträgt. Im hier dargestellten Fall beschreibt  $g_s(t)$  einen Rechteckimpuls, doch kann für  $g_s(t)$  auch ein jeder andere energiebegrenzte Impuls verwendet werden.

Die Grafik zeigt die Signalraumdarstellung der 8–PSK für das Bandpass–Signal (oben) sowie für das äquivalente Tiefpass–Signal (unten):

• Man erkennt daraus, dass sich die beiden Darstellungen nur duch die verwendeten Basisfunktionen unterscheiden, wobei  $\varphi_1(t)$  in der oberen und der unteren Grafik für unterschiedliche Funktionen steht.
• In der Tiefpassdarstellung gilt  $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Signals, Basis Functions and Vector Spaces".

• Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie  $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
• Im Gegensatz zum Theorieteil und zur  Aufgabe 4.2  kann hier die Laufvariable  $i$  die Werte  $0, \ \text{...} \, ,M-1$  annehmen.

Fragebogen

1

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_0(t)$?

$s_{\rm 01} \ = \ $ $\ \cdot \sqrt{E}$

$s_{\rm 02} \ = \ $ $\ \cdot \sqrt{E}$

2

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_2(t)$?

$s_{\rm 21} \ = \ $ $\ \cdot \sqrt{E}$

$s_{\rm 22} \ = \ $ $\ \cdot \sqrt{E}$

3

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_5(t)$?

$s_{\rm 51} \ = \ $ $\ \cdot \sqrt{E}$

$s_{\rm 52} \ = \ $ $\ \cdot \sqrt{E}$

4

Durch welche Basisfunktionen sind die Tiefpass–Signale  $s_{\rm TP \it i}(t)$  darstellbar? Durch

	eine komplexe Basisfunktion  $\xi_1(t)$,
	zwei komplexe Basisfunktionen  $\xi_1(t)$  und  $\xi_2(t)$,
	zwei reelle Funktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\psi_1(t)$.

5

Wie lauten im vorliegenden Fall die reellen Basisfunktionen?

	$\varphi_1(t) = g_s(t)$,
	$\varphi_1(t) = g_s(t)/\sqrt{E_{\rm g_s}}$,
	$\psi_1(t) = \varphi_1(t)$,
	$\psi_1(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.

6

Es gelte  $s_{\rm TP0}(t) = \sqrt{E}$. Was trifft zu:

	Die Energie  $E$  bezieht sich auf das Tiefpass–Signal.
	Die Energie  $E$  bezieht sich auf das Bandpass–Signal.

Musterlösung

Solution

(1)  Das Signal $s_0(t)$ lautet:

$$s_0(t)= A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) = s_{01} \cdot \varphi_1(t) + s_{02} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$

• Da dieses Signal keinen Sinusteil aufweist, ist $s_{\rm 02} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}$.
• Weiter gilt mit der angegebenen Abkürzung:

$$A = s_{01} \cdot \sqrt{{2}/{T}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{01}=\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T} = \sqrt{E}\hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Das Signal $s_2(t)$ lautet mit $i = 2$ (beachten Sie, dass die zweite Basisfunktion minus–sinusförmig ist):

$$s_2(t)= A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{2})= - A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{21}\hspace{0.05cm} \underline{= 0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} s_{22}= \sqrt{E} \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline {=1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Entsprechend den Musterlösungen zu den Teilaufgaben (1) und (2) gilt nun:

$$s_{51}= s_{52}= - \sqrt{E/2} \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = -0.707 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{5}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )=A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_5)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\phi_5 = -0.75 \cdot \pi \hspace{0.2cm}{\rm bzw.}\hspace{0.2cm}\phi_5 = 1.25 \cdot \pi \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.

• Dabei gilt folgender Zusammenhang:  

$$\xi_1 (t) = \varphi_1 (t) + {\rm j} \cdot \psi_1 (t)\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Richtig sind die Alternativen 2 und 3:

• Die Basisfunktion muss energienormiert sein.
• $\psi_1(t)$ ist wie $\varphi_1(t)$ eine reelle, nicht etwa eine imaginäre Funktion:

$$\varphi_1 (t) = \psi_1 (t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/\sqrt{T} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

(6)  Aus dem Tiefpass–Signal $s_{\rm TP0}(t)$ kann man auch das Bandpass–Signal $s_0(t)$ berechnen.

• Im Bereich $0 ≤ t ≤ T$ erhält man mit dem Ergebnis aus (5) das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (1) :

$$s_0(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\left[s_{{\rm TP}0}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \right] = {\rm Re}\left[\sqrt{E} /{\sqrt{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \right]= \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) \hspace{0.05cm},$$

• Daraus folgt: Die Energie $E$ bezieht sich auch bei Betrachtung im äquivalenten Tiefpass–Bereich auf das Bandpass–Signal.

• Entsprechend gilt für das mit blauem Punkt markierte Signal $s_2(t)$ im interessierenden Bereich:

$$s_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big] = {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)- \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t) \big] = - \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t) \hspace{0.05cm}.$$

• Schließlich kann für das (grüne) Signal $s_5(t)$ im Bereich $0 ≤ t < T$ geschrieben werden:

$$s_5(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{{E}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big] = \text{...} = - \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)+ \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t)=\sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + 1.25 \cdot \pi) \hspace{0.05cm}.$$

• Auch diese Ergebnisse stimmen mit denen der Teilaufgaben (2) bzw. (3) überein. Zutreffend ist also der Lösungsvorschlag 2.