Aufgaben:Exercise 4.6Z: Basics of Product Codes

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Generator matrices of the component codes

We consider here a product code according to the description on page  "Basic structure of a product code". The two component codes  $\mathcal{C}_1$  and  $\mathcal{C}_2$  are defined by the generator matrices  $\mathbf{G}_1$  and  $\mathbf{G}_2$  given on the right.

Hints:

• The exercise belongs to the chapter  "Basics of a Product Code".
• Reference is made in particular to the page  "Basic structure of a product code".
• The two component codes are also covered in the  "Exercise 4.6" .

Fragebogen

1

Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix  $\mathbf{G}_1$  über den Code  $\mathcal{C}_1$?

	Die Coderate von  $\mathcal{C}_1$  ist  $R_1 = 4/7$.
	Der Code  $\mathcal{C}_1$  ist systematisch.
	$\mathcal{C}_1$  ist ein verkürzter Hamming–Code.
	Die minimale Distanz dieses Codes ist  $d_1 = 3$.

2

Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix  $\mathbf{G}_2$  über den Code  $\mathcal{C}_2$?

	Die Coderate von  $\mathcal{C}_2$  ist  $R_2 = 4/7$.
	Der Code  $\mathcal{C}_2$  ist systematisch.
	$\mathcal{C}_2$  ist ein verkürzter Hamming–Code.
	Die minimale Distanz dieses Codes ist  $d_2 = 3$.

3

Geben Sie die Parameter des Produktcodes  $\mathcal{C} = \mathcal{C}_1 × \mathcal{C}_2$  an.

$k \hspace{0.25cm} = \ $

$n \hspace{0.25cm} = \ $

$d \hspace{0.25cm} = \ $

$R \hspace{0.15cm} = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

• Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an   ⇒   $k = 4$.
• Die Codewortlänge ist gleich der Anzahl der Spalten   ⇒   $n=4$   ⇒   Coderate $R = k/n = 4/7$.
• Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix beginnt.
• Es handelt sich um einen "normalen" Hammingcode.
• Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits   ⇒   $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$.
• Im vorliegenden Fall handelt es sich um den (normalen) Hammingcode $\rm (7, \ 4, \ 3)$.
• Der letzte Parameter in dieser Codebezeichnung gibt die minimale Distanz an   ⇒   $d_{\rm min} = 3$.

(2)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4:

• Es handelt sich um einen verkürzten Hammingcode mit dem Parameter $n = 6, \ k = 3$ und $d_{\rm min} = 3$, ebenfalls in systematischer Form.
• Die Coderate beträgt $R = 1/2$.

(3)  Die Grundstruktur des Produktcodes ist auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes dargestellt.

• Man erkennt den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12}$,
• Die Codewortlänge ist die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$.
• Die Coderate ergibt sich somit zu $R = k/n = 12/42 = 2/7$.
• Oder:   $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \ \underline{= 2/7} \approx 0.289$.
• Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$.