Aufgaben:Exercise 1.5Z: Sinc-shaped Impulse Response

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Die Impulsantwort eines linearen zeitinvarianten (und akausalen) Systems wurde wie folgt ermittelt (siehe Grafik): $$h(t) = 500\hspace{0.05cm}\frac{1}{ {\rm s}}\cdot{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{ 1\hspace{0.1cm}{\rm ms}}) .$$ Berechnet werden sollen die Ausgangssignale $y(t)$, wenn am Eingang verschiedene Cosinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz $f_0$ angelegt werden: $$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot f_0 \cdot t ) .$$ Die Lösung kann entweder im Zeitbereich oder auch im Frequenzbereich gefunden werden. In der Musterlösung werden jeweils beide Lösungswege angegeben. Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 1.3. Gegeben ist dazu das folgende bestimmte Integral: $$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u} \hspace{0.15cm}{\rm d}u = \left\{ \begin{array}{c} \pi/2 \\ \pi/4 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ |a| < 1,} \\{ |a| = 1,} \\ { |a| > 1.} \\ \end{array}$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ des LZI-Systems. Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und der Gleichsignalübertragungsfaktor?

$\Delta f =$ kHz

$H(f = 0) =$

2

Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $f_0 =$ 1 kHz. Wie groß ist der Signalwert zur Zeit $t =$ 0?

$f_0 = 1 {\rm kHz}: y(t = 0) =$ V

3

Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $f_0 =$ 0.1 kHz. Wie groß ist der Signalwert zur Zeit $t =$ 0?

$f_0 = 0.1 {\rm kHz}: y(t = 0) =$ V

4

Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $f_0 =$ 0.5 kHz. Wie groß ist der Signalwert zur Zeit $t =$ 0?

$f_0 = 0.5 {\rm kHz}: y(t = 0) =$ V

Musterlösung

Solution

1. Ein Vergleich mit den Gleichungen in Abschnitt 2 von Kapitel 1.3 – oder auch die Anwendung der Fourierrücktransformation – zeigt, dass $H(f)$ ein idealer Tiefpass ist: $$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm}K \\ K/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\ \end{array}$$ Die äquidistanten Nulldurchgänge der Impulsantwort treten im Abstand $Δt =$ 1 ms auf. Daraus folgt die äquivalente Bandbreite $Δf \rm \underline{\\ = 1 \\kHz}$. Wäre $K =$ 1, so müsste $h(0) = Δf =$ 1000 1/s gelten. Wegen der Angabe $h(0) = 500 1/s = Δf/2$ ist somit der Gleichsignalübertragungsfaktor $K = H(f = 0) \rm \underline{= 0.5}$.

2. 3. 4. 5. 6. 7.