Aufgaben:Exercise 1.8: Variable Edge Steepness

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Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit sollen miteinander verglichen werden. Für Frequenzen $|f| ≤ f_1$ gilt in beiden Fällen $H(f) =$ 1. Dagegen werden alle Frequenzen $|f| ≥ f_2$ vollständig unterdrückt.

Im mittleren Bereich $f_1 ≤ |f| ≤ f_2$ sind die Frequenzgänge durch die nachfolgenden Gleichungen festgelegt:

• Trapeztiefpass (TTP):

$$H(f) = \frac{f_2 - |f|}{f_2 - f_1} ,$$

• Cosinus–Rolloff–Tiefpass (CRTP):

$$H(f) = \cos^2 \left(\frac{|f|- f_1}{f_2 - f_1} \cdot\frac{\pi}{2} \right).$$

Alternative Systemparameter sind für beide Tiefpässe die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Bandbreite $Δf$ sowie der Rolloff–Faktor (im Frequenzbereich): $$r=\frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} .$$ In der gesamten Aufgabe gelte $Δf =$ 10 kHz und $r =$ 0.2. Die Impulsantworten lauten mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 1/Δf =$ 0.1 ms: $$h_{\rm TTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \frac{t}{\Delta t} ),$$ $$h_{\rm CRTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot r \cdot t / \Delta t )}{1 - (2 \cdot r \cdot t/\Delta t )^2}.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3. Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Interaktionsmodul überprüfen:

Fragebogen

1

Wie lautet die Gleichung für die äquivalente Bandbreite $Δf$?

	Es gilt $Δf = f_2 – f_1$.
	Es gilt $Δf = f_1 + f_2$.
	Es gilt $Δf = (f_2 + f_1)/2$.

2

Bestimmen Sie die Tiefpass-Parameter $f_1$ und $f_2$ für $Δf =$ 10 kHz und $r =$ 0.2.

$f_1 =$ kHz

$f_2 =$ kHz

3

Welche Aussagen sind für die Impulsantwort des Trapeztiefpasses zutreffend, wenn $r =$ 0.2 vorausgesetzt wird?

	$h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, ...)$.
	$h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
	Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
	Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.

4

Welche Aussagen treffen für die Impulantwort des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses zu, wenn $r =$ 0.2 vorausgesetzt wird?

	$h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, ...)$.
	$h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
	Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
	Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.

Musterlösung

Solution

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)