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| − | {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Lineare Verzerrungen
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| − | [[File:P_ID914__LZI_A_2_7.png|right|]]
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| − | :Wie in der Aufgabe A2.6 wird ein Zweiwegekanal betrachtet, für dessen Impulsantwort gelte:
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| − | :$$h(t) = \delta ( t - T_1) + \delta ( t - T_2).$$
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| − | :Entgegen der allgemeinen Darstellung in A2.6 sind hier die beiden Dämpfungsfaktoren <i>z</i><sub>1</sub> und <i>z</i><sub>2</sub> jeweils zu 1 gesetzt. Dies entspricht zum Beispiel beim Mobilfunk einem Echo im Abstand <i>T</i><sub>2</sub> – <i>T</i><sub>1</sub> in gleicher Stärke wie das Signal auf dem Hauptpfad. Für dieses wird die Laufzeit <i>T</i><sub>1</sub> vorausgesetzt.
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| − | :Mit den zunächst (a, b, c, d) betrachteten Laufzeiten <i>T</i><sub>1</sub> = 0 und <i>T</i><sub>2</sub> = <i>T</i> erhält man für den Frequenzgang des Zweiwegekanals (Betrag siehe obere Grafik):
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| − | :$$H(f) = 1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}2 \pi f T} = 1 +
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| − | \cos(2 \pi f T) - {\rm j} \cdot \sin(2 \pi f T)$$
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| − | :$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}|H(f)| = \sqrt{2\left(1 + \cos(2 \pi f
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| − | T)\right)}= 2 \cdot |\cos(\pi f T)|.$$
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| − | :Die untere Grafik zeigt die Phasenfunktion:
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| − | :$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) = \arctan \frac{\sin(2 \pi f
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| − | T)}{1 + \cos(2 \pi f T)} = \arctan \left(\tan(\pi f T)\right).$$
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| − | :Hierbei wurde folgende trigonometrische Umformung benutzt:
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| − | :$$ \frac{\sin(2 \alpha)}{1 + \cos(2 \alpha)} = \tan(\alpha).$$
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| − | :Im Frequenzbereich |<i>f</i>| < 1/(2<i>T</i>) steigt <i>b</i>(<i>f</i>) linear an: <i>b</i>(<i>f</i>) = π · <i>f</i> · <i>T</i><sub>1</sub>. Auch in den weiteren Abschnitten der Phasenfunktion nimmt die Phase stets von – π/2 bis π/2 linear zu (siehe untere Grafik).
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| − | :Für die Teilaufgaben 1) bis 4) gelte <i>T</i><sub>1</sub> = 0 und <i>T</i><sub>2</sub> = <i>T</i> = 4 ms. Dagegen wird in der Teilaufgabe e) der Fall <i>T</i><sub>1</sub> = 1 ms, <i>T</i><sub>2</sub> = 5 ms betrachtet. Als Eingangssignale werden untersucht:
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| − | :ein Rechteckimpuls <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) mit der Höhe 1 zwischen 0 und <i>T</i>. Das bedeutet, dass für <i>t</i> < 0 und für <i>t</i> > <i>T</i> jeweils <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) = 0 gilt. An den beiden Sprungstellen tritt jeweils der Wert 0.5 auf.
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| − | :ein Rechteckimpuls <i>x</i><sub>2</sub>(<i>t</i>) mit der Höhe 1 im Bereich von 0 bis 2<i>T</i>,
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| − | :ein periodisches Rechtecksignal <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) mit der Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> = <i>T</i>:
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| − | :$$x_3(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
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| − | 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad
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| − | \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
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| − | \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
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| − | { 0 < t < T/2,} \\
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| − | { T/2 < t < T,} \\
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| − | \end{array}$$
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| − | :ein periodisches Rechtecksignal <i>x</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) mit der Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> = 2<i>T</i>:
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| − | :$$x_4(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
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| − | 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad
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| − | \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
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| − | \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
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| − | { 0 < t < T,} \\
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| − | { T < t < 2T.} \\
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| − | \end{array}$$
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| − | :Im Fragenkatalog bezeichnet <i>y<sub>i</sub></i>(<i>t</i>) das Signal am Ausgang des Zweiwegekanals, wenn am Eingang das Signal <i>x<sub>i</sub></i>(<i>t</i>) anliegt (<i>i</i> = 1, 2, 3, 4).
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| − | :<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.3.
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| − | ===Fragebogen===
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| − | <quiz display=simple>
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| − | {Berechnen Sie das Ausgangssignal <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>). Welche der Aussagen sind zutreffend?
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| − | |type="[]"}
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| − | + <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) ist ebenfalls rechteckförmig.
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| − | - <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) ist dreieckförmig.
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| − | + Die absolute Impulsdauer ist 2<i>T</i>.
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| − | + <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) Dämpfungsverzerrungen auf.
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| − | + <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) Phasenverzerrungen auf.
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| − | {Berechnen Sie das Signal <i>y</i><sub>2</sub>(<i>t</i>). Welche Werte ergeben sich zu den Zeitpunkten <nobr><i>t</i> = 0.5<i>T</i>,</nobr> 1.5<i>T</i> und 2.5<i>T</i>?
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| − | |type="{}"}
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| − | $y_2(t = 0.5T)$ = { 1 3% }
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| − | $y_2(t = 1.5T)$ = { 2 3% }
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| − | $y_2(t = 2.5T)$ = { 1 3% }
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| − | {Berechnen Sie das Signal <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) und überprüfen Sie, welche Aussagen zutreffen.
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| − | |type="[]"}
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| − | + <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) ist gegenüber <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) unverzerrt.
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| − | - <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) Dämpfungsverzerrungen auf.
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| − | - <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) Phasenverzerrungen auf.
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| − | {Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal <i>y</i><sub>4</sub>(<i>t</i>)
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| − | zu?
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| − | |type="[]"}
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| − | - <i>y</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) ist gegenüber <i>x</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) unverzerrt.
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| − | + <i>y</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) Dämpfungsverzerrungen auf.
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| − | - <i>y</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) Phasenverzerrungen auf.
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| − | {Es gelten nun die Kanalparameterwerte <i>T</i><sub>1</sub> = 1 ms und <i>T</i><sub>2</sub> = 5 ms. Welche Veränderungen ergeben sich gegenüber den bisherigen Ergebnissen?
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| − | |type="[]"}
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| − | + Die obigen Aussagen hinsichtlich Verzerrungen sind weiterhin gültig.
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| − | - Fundierte Aussagen sind erst nach einer Neuberechnung möglich.
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| − | - <i>T</i><sub>1</sub> = 1 ms und <i>T</i><sub>2</sub> = 5 ms führt bei allen Signalen zu Verzerrungen.
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| − | </quiz>
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| − | ===Musterlösung===
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| − | {{ML-Kopf}}
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| − | :<b>1.</b> Die Lösung im Zeitbereich führt schneller zum Endergebnis:
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| − | :$$y_1(t) = x_1(t) \star h(t) = \\ = x_1(t) \star \delta (t)
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| − | + x_1(t) \star \delta (t - T) = x_1(t) + x_1(t-T).$$
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| − | :Somit ist <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) ein Rechteckimpuls der Höhe 1 und der Breite 2<i>T</i>.
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| − | :Zum gleichen Ergebnis – aber zeitaufwändiger – kommt man durch die Berechnung im Spektralbereich:
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| − | :$$Y_1(f) = X_1(f) \cdot H(f) = T \cdot \frac {\sin(\pi f T)}{\pi f T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \cdot
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| − | \left[ 1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \right].$$
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| − | :Die komplexen Exponentialfunktionen können mit dem Satz von Euler wie folgt umgewandelt werden:
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| − | :$${\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T}
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| − | \left[ 1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \right] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
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| − | \cdot \left[ {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \right] = \\
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| − | = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \cdot 2 \cos(\pi f T) .$$
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| − | :Somit kann für das Ausgangsspektrum geschrieben werden:
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| − | :$$Y_1(f) = Y_{11}(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
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| − | ,$$
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| − | :$$Y_{11}(f) = 2T \cdot \frac {\sin(\pi f T) \cdot \cos(\pi f T)}{\pi
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| − | f T} = 2T \cdot \frac {\sin(2\pi f T) }{2\pi f T}.$$
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| − | [[File:P_ID925__LZI_A_2_7_a.png|right|]]
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| − | :Hierbei ist die Beziehung sin(<i>α</i>) · cos(<i>α</i>) = sin(2<i>α</i>)/2 verwendet. Die Fourierrücktransformation von <i>Y</i><sub>11</sub>(<i>f</i>) führt zu einem um <i>t</i> = 0 symmetrischen Rechteck der Breite 2<i>T</i>. Durch die Phasenfunktion wird dieser in den Bereich 0 ... 2<i>T</i> verschoben und das Ergebnis der Zeitbereichsberechnung bestätigt.
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| − | :Trotz der Tatsache, dass <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) ebenso wie <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) rechteckförmig ist, liegen hier Verzerrungen vor. Wegen <i>T<sub>y</sub></i> > <i>T<sub>x</sub></i> sind diese linear. Im interessierenden Frequenzbereich – das sind bei einem si–förmigem Spektrum alle Frequenzen – ist |<i>H</i>(<i>f</i>)| nicht konstant. Also gibt es Dämpfungsverzerrungen.
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| − | :Da zudem die Phase nicht im gesamten Bereich linear mit <i>f</i> ansteigt, gibt es auch Phasenverzerrungen. Das bedeutet: <u>Alle Lösungsvorschläge treffen zu mit Ausnahme von 2</u>.
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| − | :<b>2.</b> Aufgrund der bereits in 1) angegebenen Gleichung
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| − | :$$y_2(t) = x_2(t) + x_2(t-T)$$
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| − | :erhält man einen stufenförmigen Verlauf entsprechend obiger Grafik. Die gesuchten Werte sind:
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| − | :$$y_2(t = 0.5 T) \hspace{0.15cm}\underline{= 1}, \hspace{0.3cm} y_2(t = 1.5 T) \hspace{0.15cm}\underline{= 2},
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| − | \hspace{0.3cm}y_2(t = 2.5 T) \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
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| − | :<b>3.</b> Die Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> = <i>T</i> des periodischen Signals <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) ist genau so groß wie die Verzögerung auf dem zweiten Pfad. Deshalb ist <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) = 2 · <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) und es sind keine Verzerrungen feststellbar.
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| − | [[File:P_ID927__LZI_A_2_7_c.png|right|]]
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| − | :Die Spektralbereichsberechnung führt zum gleichen Ergebnis. <i>X</i><sub>3</sub>(<i>f</i>) ist ein Linienspektrum mit Anteilen bei den Frequenzen <i>f</i> = 0, <i>f</i> = ±<i>f</i><sub>0</sub> = ±1/<i>T</i>, <i>f</i> = ±3<i>f</i><sub>0</sub> usw.. Bei diesen diskreten Frequenzen gilt aber exakt:
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| − | :$$|H(f)| = 2, \hspace{0.3cm} b(f) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
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| − | \hspace{0.3cm}\tau_{\rm P}(f) = 0.$$
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| − | :Auch daraus folgt wieder <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) = 2 · <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>). Richtig ist somit nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.<br><br><br>
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| − | :<b>4.</b> Aus der unteren Skizze obiger Grafik geht hervor, dass <i>y</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) = 1 gegenüber <i>x</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) verzerrt ist. Dabei handelt es sich um Dämpfungsverzerrungen ⇒ <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie die folgende Überlegung zeigt. Wegen <i>T</i><sub>0</sub> = 2<i>T</i> weist das Signal <i>x</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) die Grundfrequenz <i>f</i><sub>0</sub> = 1/(2<i>T</i>) auf. Bei allen ungeraden Vielfachen von <i>f</i><sub>0</sub> hat somit der Frequenzgang Nullstellen. Die einzige verbleibende Spektrallinie von <i>Y</i><sub>4</sub>(<i>f</i>) liegt bei <i>f</i> = 0, wobei gilt:
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| − | :$$Y_4(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot \delta (f) = 1 \cdot \delta (f)
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| − | \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_4(t) = 1.$$
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| − | :<b>5.</b> Der Frequenzgang lautet nun mit <i>T</i><sub>1</sub> = 1 ms, <i>T</i><sub>2</sub> = 5 ms und <i>T</i> = <i>T</i><sub>2</sub> – <i>T</i><sub>1</sub> = 4 ms:
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| − | :$$H(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
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| − | T_1}+ {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
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| − | T_2}= \left[ 1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
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| − | \right]\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
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| − | T_1}.$$
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| − | :Der Klammerausdruck beschreibt den bereits bisher betrachteten Frequenzgang. Der zweite Term bewirkt eine zusätzliche Laufzeit um <i>T</i><sub>1</sub>, und es gilt für alle Signale (<i>i</i> = 1, 2, 3, 4):
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| − | :$$y_i^{\rm (e)}(t) = y_i(t-T_1).$$
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| − | :Alle Aussagen hinsichtlich der Verzögerungen sind weiter gültig. Dies entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
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| − | {{ML-Fuß}}
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| − | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^2.3 Lineare Verzerrungen^]]
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