Aufgaben:Exercise 4.6: k-parameters and alpha-parameters

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Für symmetrische Kupfer–Doppeladern findet man in [PW95] die folgende empirische Formel, gültig für den Frequenzbereich 0 ≤ f ≤ 30 MHz:

$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3} , \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz} .$$

Dagegen ist das Dämpfungsmaß eines Koaxialkabels meist in der folgenden Form angegeben:

$$\alpha_{\rm II}(f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}\hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere zur Berechnung von Impulsantwort und Rechteckantwort ist es von Vorteil, auch für die Kupfer–Doppeladern die zweite Darstellungsform mit den Kabelparametern α₀, α₁ und α₂ anstelle der Beschreibung durch k₁, k₂, und k₃ zu wählen. Für die Umrechnung geht man dabei wie folgt vor:

• Aus obigen Gleichungen ist offensichtlich, dass der die Gleichsignaldämpfung charakterisierende Koeffizient k₁ gleich α₀ ist.

• Zur Bestimmung von α₁ und α₂ wird davon ausgegangen, dass der mittlere quadratische Fehler im Bereich einer vorgegebenen Bandbreite B minimal sein soll:

$${\rm E}[\varepsilon^2(f)] = \int\limits_{0}^{ B} \left [ \alpha_{\rm II} (f) - \alpha_{\rm I} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$

• Die Differenz ε²(f) und der mittlere quadratische Fehler E[ε²(f)] ergeben sich dabei wie folgt:

$$\varepsilon^2(f) \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \left [ \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f} - k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\right ]^2 =\\ = \hspace{0.15cm}\alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f^2 + 2 \alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f^{1.5} + \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f + k_2^2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{2k_3}}{f_0^{2k_3}} - 2 k_2 \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{k_3+1}} {f_0^{k_3}}-{2 k_2 \alpha_2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{k_3+0.5}}{f_0^{k_3}}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm E}[\varepsilon^2(f)] = \hspace{0.15cm} \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\frac{B^3}{3} + \frac{4}{5} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}B^{2.5} + \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^2}{2} + \frac{k_2^2}{2k_3 +1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^{2k_3+1}}{f_0^{2k_3}} -\\ - \hspace{0.15cm} \frac{2 k_2 \alpha_1}{k_3 + 2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} $$

Diese Gleichung beinhaltet die zu verrechnenden Kabelparameter α₁, α₂, k₂ und k₃ sowie die Bandbreite B, innerhalb derer die Approximation gültig sein soll.

• Durch Nullsetzen der Ableitungen von E[ε²(f)] nach α₁ bzw. α₂ erhält man zwei Gleichungen für die bestmöglichen Koeffizienten α₁ und α₂, die den mittleren quadratischen Fehler minimieren. Diese lassen sich in folgender Form darstellen:

$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_1}} = 0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = 0 \hspace{0.05cm} ,\\ \frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_2}} = 0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2 = 0 \hspace{0.05cm} . $$

• Aus der Gleichung C₁ · α₂ + C₂ = D₁ · α₂ + D₂ lässt sich daraus der Koeffizient α₂ berechnen und anschließend aus jeder der beiden oberen Gleichungen der Koeffizient α₁.

Die obere Grafik zeigt das Dämpfungsmaß für eine Kupferdoppelader mit 0.5 mm Durchmesser, deren k–Parameter lauten:

$$k_1 = 4.4\, {\rm dB}/{\rm km} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_2 = 10.8\, {\rm dB}/{\rm km}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}.$$

Die rote Kurve zeigt die damit berechnete Funktion α(f). Für f = 30 MHz ergibt sich das Dämpfungsmaß α = 87.5 dB/km. Die blaue Kurve gibt die Approximation mit den α–Koeffizienten an. Diese ist von der roten Kurve innerhalb der Zeichengenauigkeit fast nicht zu unterscheiden.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.3.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Parameter der Gleichung α₁ + C₁ · α₂ + C₂ = 0, die sich aus der Ableitung dE[...]/dα₁ ergeben. Welche Ergebnisse sind zutreffend?

	C1 = 6/5 · B–0.5,
	C1 = 5/4 · B–0.5,
	C1 = 4/3 · B2,
	C2 = –4/3 · B–2,
	C2 = –5/2 · k2/(k3 + 1.5) · Bk3–1 · f0–k3,
	C2 = –3 · k2/(k3 + 2) · Bk3–1 · f0–k3.

2

Berechnen Sie die Parameter der Gleichung α₁ + D₁ · α₂ + D₂ = 0, die sich aus der Ableitung dE[...]/dα₂ ergeben. Welche Ergebnisse sind zutreffend?

	D1 = 6/5 · B–0.5,
	D1 = 5/4 · B–0.5,
	D1 = 4/3 · B2,
	D2 = –4/3 · B–2,
	D2 = –5/2 · k2/(k3 + 1.5) · Bk3–1 · f0–k3,
	D2 = –3 · k2/(k3 + 2) · Bk3–1 · f0–k3.

3

Berechnen Sie die Koeffizienten α₁ und α₂ für gegebene k₂ und k₃. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Für k3 = 1 gilt α1 = k2/f0, α2 = 0.
	Für k3 = 0.5 gilt α1 = 0, α2 = k2/f00.5.

4

Ermitteln Sie die Koeffizienten für die Approximationsbandbreite B = 30 MHz.

$\alpha_1$ = $dB/(km\ \cdot \ MHz)$

$\alpha_2$ = $dB/(km\ \cdot \ MHz^{0.5})$

5

Berechnen Sie mit den α–Parametern das Dämpfungsmaß bei f = 30 MHz.

$\alpha_\text{II}(f = 30\ MHz)$ = $dB/km$

Musterlösung

Solution

1.  Die Ableitung des angegebenen Erwartungswertes nach α₁ ergibt:

$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_1}} = \frac{2}{3}\cdot B^3 \cdot \alpha_1 + \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_2 - \frac{2 k_2 }{k_3 + 2} \cdot \frac{B^{k_3+2}}{f_0^{k_3}}= 0 \hspace{0.05cm} .$$

Durch Nullsetzen und Division durch 2B²/3 erhält man daraus:

$$\alpha_1 + \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2 - \frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0 \hspace{0.05cm} .$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_1 = \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.5cm} C_2 = - \frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} \hspace{0.05cm} .$$

Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 1 und 6.

2.  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe 1) zeigt sich, dass nun die Lösungsvorschläge 2 und 5 richtig sind:

$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_2}} = \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_1 + B^{2} \cdot \alpha_2 - \frac{2 k_2 }{k_3 + 1.5} \cdot \frac{B^{k_3+1.5}}{f_0^{k_3}}= 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_1 + \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2 - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0 \hspace{0.05cm} .$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_1 = \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}D_2 = - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} \hspace{0.05cm} .$$

3.  Aus C₁ · α₂ + C₂ = D₁ · α₂ + D₂ ergibt sich eine lineare Gleichung für α₂. Mit dem Ergebnis aus 2) kann hierfür geschrieben werden:

$$\alpha_2 = \frac{D_2 - C_2}{C_1 - D_1} = \frac{- \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} + \frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}}{{6}/{5}\cdot B^{-0.5} - {5}/{4}\cdot B^{-0.5}} = \\ = \frac{- {2.5 \cdot k_2 }\cdot(k_3 +2) + {3 k_2 }\cdot (k_3 +1.5) }{({6}/{5} - {5}/{4})(k_3 +1.5)(k_3 +2)} \cdot \frac{B^{k_3-0.5}}{f_0^{k_3}}= \\ = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} \hspace{0.05cm} .$$

Für den Parameter α₁ gilt dann:

$$\alpha_1 = - C_1 \cdot \alpha_2 - C_2 = \\ = -\frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} +\frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= \\ = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{-12 \cdot (1-k_3) + 3 \cdot (k_3 + 1.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)} \cdot \frac {k_2}{f_0}= \\ = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0}\hspace{0.05cm} .$$

Die beiden Lösungsvorschläge sind richtig. Unabhängig von der Bandbreite erhält man für k₃ = 1:

$$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} = \frac{15 \cdot 0.5}{2.5 \cdot 3}\cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline{ = {k_2}/{f_0}}\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 = (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}\hspace{0.15cm}\underline{= 0} \hspace{0.05cm} .$$

Dagegen ergibt sich für k₃ = 0.5:

$$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 = (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}= \frac{10 \cdot 0.5}{2 \cdot 2.5}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = \hspace{0.15cm}\underline{ {k_2}/{\sqrt{f_0}}} \hspace{0.05cm} .$$

4.  Für die beiden Koeffizienten gilt mit k₂ = 10.8 dB/km, k₃ = 0.6 dB/km und B/f₀ = 30:

$$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} = \\ = 30^{-0.4}\cdot \frac{15 \cdot 0.1}{2.1 \cdot 2.6}\cdot \frac {10.8 \, {\rm dB/km} }{1 \, {\rm MHz}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.761\, {{\rm dB} }/{({\rm km \cdot MHz})}} \hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 = (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}= \frac{10 \cdot 0.5}{2 \cdot 2.5}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = \\ = 30^{0.1}\cdot \frac{10 \cdot 0.4}{2.1 \cdot 2.6}\cdot \frac {10.8 \, {\rm dB/km} }{1 \, {\rm MHz^{0.5}}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 11.1\, {{\rm dB} }/{({\rm km \cdot MHz^{0.5}}})}\hspace{0.05cm} .$$

5.  Entsprechend der angegebenen Gleichung α_II(f) gilt:

$$\alpha_{\rm II}(f = 30 \, {\rm MHz}) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f} =\\ = \left [ \hspace{0.05cm} 4.4 + 0.761 \cdot 30 + 11.1 \cdot \sqrt {30}\hspace{0.05cm} \right ]\frac {\rm dB}{\rm km } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 88.1\, {\rm dB}/{\rm km }} \hspace{0.05cm}.$$