Aufgaben:Exercise 4.5Z: Impulse Response once again

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Wir betrachten wieder wie in der Aufgabe A4.5 ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate R und der Symboldauer T = 1/R. Als Übertragungsmedium wird ein Normalkoaxialkabel (Innendurchmesser: 2.6 mm, Außendurchmesser: 9.5 mm) mit dem Frequenzgang

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.01cm} f \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.01cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.01cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}l}\\ = H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$

verwendet. Die Kabellänge beträgt l = 1 Kilometer.

Die Teilfrequenzgänge H₁(f), H₂(f), H₃(f) dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten:

$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort h_K(t'), wobei t' = t/T die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit τ' = τ/T kann h_K(t') wie folgt geschrieben werden:

$$h_{\rm K}(t') = \frac {1}{T} \cdot \frac {\rm a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2 \hspace{0.05cm}t'^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {\rm a_\rm \star^2}{ {2\pi \hspace{0.05cm}t'}} \right ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts H₂(f) · H₃(f) an. Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung

$${\rm a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$$

In der Aufgabe A4.5 wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:

$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)] = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{\rm a}_{\rm \star}^2} \approx \frac {1.453 }{{\rm a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.2.

Fragebogen

1

Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit τ verantwortlich?

	H1(f),
	H2(f),
	H3(f).

2

Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn τ' = τ/T = 694 beträgt.

$R$ = $Mbit/s$

3

Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge H₂(f) und H₃(f) an.

$a_\star$ = $Np$

4

Bestimmen Sie den (normierten) Maximalwert der Impulsantwort.

$Max[T \cdot h_K(t)]$ =

5

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Verzerrungen werden ohne H1(f) richtig wiedergegeben.
	Verzerrungen werden ohne H2(f) richtig wiedergegeben.
	Verzerrungen werden ohne H3(f) richtig wiedergegeben.

Musterlösung

Solution

1.  Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet e^–j2πfτ. Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass H₁(f) genau diesem Ansatz genügt  ⇒ Alternative 1.

2.  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:

$$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} = \frac {21.78\, {\rm rad}/{({\rm km \cdot MHz})}\cdot 10\,{\rm km}}{2\pi} = 34.7\,{\rm \mu s}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '= {\tau}/{T} = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm} T = \frac {34.7\,{\rm \mu s}}{700} \approx 0.05\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.$$

Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer: R = 20 Mbit/s.

3.  Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit:

$${\rm a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 8.6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$

Der entsprechende dB–Wert ist 75 dB.

4.  Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis aus c) ergibt sich:

$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)] \approx \frac {1.453 }{{\rm a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$

5.  Richtig ist nur Aussage 1. H₁(f) beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat. Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf H₂(f) oder H₃(f) verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:

• Die Impulsantwort h₂(t) als die Fourierrücktransformierte von H₂(f) ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei t = 0 und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.

• Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von H₃(f) eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei t = 0. Für t > 0 fällt h₃(t) ähnlich – aber nicht exakt – wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten gilt h₃(t) = – h₃(|t|).

• Erst die Faltung h₂(t) ∗ h₃(t) liefert die kausale Impulsantwort. Die Phasenlaufzeit τ ist hierbei noch nicht berücksichtigt.