Aufgaben:Exercise 3.8Z: Tuples from Ternary Random Variables

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Wir betrachten das Tupel $Z = (X, Y)$, wobei die Einzelkomponenten $X$ und $Y$ jeweils ternäre Zufallsgrößen darstellen $\Rightarrow$ Symbolumfang $|X| = |Y| = 3$. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{ XY }(X, Y)$ ist rechts angegeben.

In dieser Aufgabe sind zu berechnen:

• die Verbundentropie $H(XY)$ und die Transinformation $I(X; Y)$,
• die Verbundentropie $H(XZ)$ und die Transinformation $I(X; Z)$,
• die bedingten Entropien $H(Z|X)$ und $H(X|Z)$.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Themengebiet von Kapitel 3.2.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die folgenden Entropien.

$H(X)$ = $bit$

$H(Y)$ = $bit$

$ H(XY)$ = $bit$

2

Welche Transinformationen besteht zwischen den Zufallsgrößen $X$ und $Y$?

$I(X; Y)$ = $bit$

3

Welche Transinformationen besteht zwischen den Zufallsgrößen $X$ und $Z$?

$I(X; Z)$ = $bit$

4

Welche bedingten Entropien bestehen zwischen $X$ und $Z$?

$H(Z|X)$ = $bit$

$ H(X|Z)$ = $bit$

Musterlösung

Solution

1. Bei den beiden Zufallsgrößen $X =\{0, 1, 2\} \Rightarrow |X| = 3$ und $Y = \{0, 1, 2\} \Rightarrow |Y| = 3$ liegt jeweils eine Gleichverteilung vor. Damit erhält man für die Entropien:

$H(X) = log_2(3) = 1.585 (bit)$,

$H(Y) = log_2(3) = 1.585 (bit)$,

Die 2D–Zufallsgröße $XY = \{00, 01, 02, 10, 11, 12, 20, 21, 22\} \Rightarrow |XY| = |Z| = 9$ weist ebenfalls gleiche Wahrscheinlichkeiten auf: $p_{ 00 } = p_ { 01 } = ... = p_{ 22 } = 1/9$. Daraus folgt:

$H(XY) = log_2(9) = 3.170 (bit)$

2. Die Zufallsgrößen$X$und $Y$ sind wegen $P_{ XY }(⋅) = P_X(⋅) · P_Y(⋅)$ statistisch unabhängig $\Rightarrow I(X, Y) = 0$. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Gleichung $I(X; Y) = H(X) + H(Y) – H(XY)$.

3. Interpretiert man $I(X; Z)$ als die verbleibende Unsicherheit hinsichtlich des Tupels $Z$, wenn die erste Komponente $X$ bekannt ist, so gilt offensichtlich$ I(X; Z) = H(Y) = 1.585 bit$.

Rein formal lässt sich diese Aufgabe auch wie folgt lösen:

• Die Entropie $H(Z)$ ist gleich $H(XY) = 3.170 bit$.

• Die Verbundwahrscheinlichkeit $P_{ XZ }(X, Z)$ beinhaltet neun Elemente der Wahrscheinlichkeit $1/9$, alle anderen sind mit Nullen belegt (Rechte Grafik) $\Rightarrow H(XZ) = log2 (9) = 3.170 bit$.

• Damit gilt für die Transinformation (gemeinsame Information der Zufalsgrößen $X$ und $Z$):

$$I(X;Z) = H(X) + H(Z) - H(XZ) = $$ $$= 1.585 +3.170 - 3170 = 1.585 (bit)$$

4.Entsprechend der rechten Grafik gilt:

$$H(Z|X) = H(XZ)- H(X) = 3.170 - 1.585 = 1.585 (bit)$$ $$H(X|Z) = H(XZ) - H(Z) = 3.170 - 3.170 = 0 (bit)$$

• $H(Z|X)$ gibt die Restunsicherheit hinsichtlich des Tupels $Z$ an, wenn man die erste Komponente $X$kennt. Die Unsicherheit hinsichtlich des Tupels $Z$ ist $H(Z) = 2 · log_2 (3) bit$, bei Kenntnis der Komponente $X$ halbiert sich die Unsicherheit auf $H(Z|X) = log2 (3) bit$.
• $H(X|Z)$gibt die verbleibende Unsicherheit hinsichtlich der Komponente $X$ an, wenn man das Tupel $Z = (X, Y)$ kennt. Diese Unsicherheit ist natürlich $0$: Kennt man $Z$, so kennt man auch $X$.