Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.12: Strictly Symmetrical Channels"
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| + | '''Hinweis:''' Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [http://en.lntwww.de/Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignal%C3%BCbertragung Kapitel 3.3]. Entsprechend der [http://en.lntwww.de/Aufgaben:3.09Z_BSC%E2%80%93Kanalkapazit%C3%A4t Aufgabe Z3.9] gilt für die Kanalkapazität des BSC–Modells mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $ε$: | ||
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Revision as of 18:01, 28 November 2016
Die obere Grafik zeigt zwei streng symmetrische Teilkanäle A und B. Ein $\text {streng symmetrischer Kanal}$ (englisch: Strongly Symmetric Channel) ist dabei
- gleichmäßig $\text{dispersiv }$ (uniformly dispersive) $\Rightarrow$ jedes Eingangssymbol $u$ hat die gleiche Menge an Übergangswahrscheinlichkeiten:
$$\left \{ P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.02cm}U}(y\hspace{-0.01cm} |\hspace{-0.01cm} u) \hspace{-0.05cm}: \hspace{0.25cm}u \in U \right \} \hspace{0.05cm},$$
- zudem gleichmäßig $\text{fokussierend}$ (uniformly focusing)$⇒$jedes Ausgangssymbol y hat die gleiche Übergangswahrscheinlichkeitsmenge:
$$ \left \{ P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.02cm}U}(y\hspace{-0.01cm} |\hspace{-0.01cm} u) \hspace{-0.05cm}: \hspace{0.25cm}y \in Y \right \} \hspace{0.05cm}.$$ Die Zufallsgröße $U = \{0, 1\}$ tritt dabei direkt an den Eingängen der Teilkanäle $A$ und $B$ auf.
Die Kanalkapazität eines streng symmetrischen Kanals lässt sich sehr viel einfacher berechnen als im unsymmetrischen Fall. Hierauf wird jedoch in dieser Aufgabe nicht näher eingegangen.
Für die Kapazität des Gesamtkanals gilt $$ C = p_{\rm A} \cdot C_{\rm A} + p_{\rm B} \cdot C_{\rm B}\hspace{0.05cm}$$ Hierbei bezeichnet $p_A$ die Wahrscheinlichkeit, dass der Teilkanal $A$ ausgewählt wird und $C_A$ dessen Kapazität. Entsprechendes gilt für den Teilkanal $B$.
Anschließend soll auch die Kanalkapazität des Binary Symmetric Error & Erasure Channel (BSEC) nach der unteren Skizze (grau hinterlegt) ermittelt werden, indem der Zusammenhang hergeleitet wird zwischen
- den Parametern $p_A$, $_pB$ und $q$ des oben dargestelltern Teilkanalmodells, und
- den Parametern $λ$ und $ε$ des BSEC–Modells.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 3.3. Entsprechend der Aufgabe Z3.9 gilt für die Kanalkapazität des BSC–Modells mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $ε$: $$ C_{\rm BSC} = 1 - H_{\rm bin}(\varepsilon)\hspace{0.05cm}$$
Fragebogen
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