Aufgaben:Exercise 1.4Z: Representation of Oscillations

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Betrachtet wird eine harmonische Schwingung $z(t)$, die zusammen mit dem zugehörigen Signal $z_+(t)$ in der Grafik dargestellt ist.

Diese Signale können mathematisch wie folgt beschrieben werden: $$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T}) \\ = A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T}( t - \tau)) \hspace{0.05cm}, \\ z_+(t) = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}$$ Die zwei Amplitudenparameter $A_T$ und $A_0$ sind jeweils dimensionslos, der Phasenwert $ϕ_T$ soll zwischen $\text{±π}$ liegen und die Laufzeit τ ist nicht negativ.

Beachten Sie weiter, dass $ϕ_T$ in obiger Gleichung mit positivem Vorzeichen erscheint. Unter Anmerkungen zur Nomenklatur finden Sie eine Begründung für die unterschiedliche Verwendung von $φ_T$ und $ϕ_T = – φ_T$.

Die Teilaufgabe (d) bezieht sich auf das äquivalente TP–Signal $z_{TP}(t)$, das mit $z_+(t)$ in folgendem Zusammenhang steht: $$z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$ Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.3 dieses Buches. Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in Kapitel 2.3 – Kapitel 4.2 – Kapitel 4.3 des Buches „Signaldarstellung” sowie bei den folgenden Interaktionsmodulen:

Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals

Ortskurve – Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals

Zu Kapitel 2.3: Anmerkung zur Nomenklatur der Phase Anzumerken ist, dass in diesem Tutorial – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischer Schwingung, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen eingeht, während in Zusammenhang mit Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird. Zur Unterscheidung dieser beiden Varianten benutzen wir $φ$ und $ϕ$. Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise $φ$ vorwiegend im deutschen und $ϕ$ im anglo-amerikanischen Sprachraum angewandt wird.

Die Phasenwerte $φ = 90°$ und $ϕ = –90°$ sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion: $$cos(2\Pi f_0t - 90°) = cos(2\Pi f_0t- \varphi) = cos(2\Pi f_0t + \phi) = sin(2\Pi f_0 t)$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Signalparameter $A_T$, $f_T$ und $ω_T$.

$A_T$ =

$f_T$= $\text{Hz}$

$\omega_T$ = $\text{Hz}$

2

Bestimmen Sie die Phase $ϕ_T$ (zwischen ±180°) und die Laufzeit $τ$.

$ϕ_T$ = $\text{Grad}$

$τ$ = $\text{ms}$

3

Zu welcher Zeit $t_1 > 0$ ist das analytische Signal $z_+(t)$ erstmalig imaginär?

$t_1$ = $\text{ms}$

4

Wie lautet das äquivalente Tiefpass–Signal $z_{TP}(t)$? Geben Sie zur Kontrolle den Wert bei t = 1 ms ein.

$Re[z_{TP}(t = 1 ms)]$ =

$Im[z_{TP}(t = 1 ms)]$ =

5

Welche der Aussagen gelten für alle harmonischen Schwingungen?

	Das Spektrum $Z(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $±f_T$.
	Das Spektrum $Z_+(f)$ weist eine Diracfunktion bei $–f_T$ auf.
	Das Spektrum $Z_{TP}(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei f = 0.
	Das analytische Signal $z_+(t)$ ist stets komplex.
	Das äquivalente TP–Signal $z_{TP}(t)$ ist stets komplex.

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.