Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.8: Modulation Index and Bandwidth"
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| + | $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$ | ||
| + | wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum $|S_+(f)|$ ermittelt. Mit der Nachrichtenfrequenz $f_N = 2 kHz$ sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen: | ||
| + | $$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | $$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_N = 2 kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden. | ||
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| + | Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_N = 4 kHz$, so ergeben sich die dominanten Linien | ||
| + | $$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | $$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$ | ||
| + | sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand 4 kHz. | ||
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| + | '''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1] und [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM) Kapitel 3.2]. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | { | + | {Welches Modulationsverfahren liegt hier vor? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | - | + | - Phasenmodulation. |
| − | + | + | + Frequenzmodulation. |
| + | |||
| + | {Wie groß ist der Modulationsindex $η_2$ bei der Nachrichtenfrequenz $f_N = 2 kHz$? | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | $η2$ = { 2.4 3% } | ||
| − | { | + | {Wie groß ist die Trägeramplitude? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $ | + | $A_T$ = { 3 3% } $V$ |
| + | {Geben Sie die Bandbreite an, wenn ein Klirrfaktor $\text{K < 1%}$ gefordert wird. | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | $B_2$ = { 17.6 3% } $KHz$ | ||
| + | {Welcher Modulationsindex $η_4$ tritt bei der Nachrichtenfrequenz $f_N = 4 kHz$ auf? | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | $η_4$ = { 1.2 3% } | ||
| + | {Welche Kanalbandbreite ist nun erforderlich, um $\text{K < 1%}$ zu gewährleisten? | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | $B_4$ = { 25.6 3% } $KHz$ | ||
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1.''' | + | '''1.''' Es handelt sich um eine Frequenzmodulation ⇒ Antwort 2. Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern. |
| − | '''2.''' | + | |
| − | '''3.''' | + | |
| − | '''4.''' | + | '''2.''' Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_T = 100 kHz$ schließen. Da bei $f_N = 2 kHz$ die Spektrallinie bei $f_T = 100 kHz$ verschwindet, ist $η_2 ≈ 2.4$ zu vermuten. Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis: |
| − | '''5.''' | + | $$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$ |
| − | '''6.''' | + | |
| + | '''3.''' Die Gewichte der Diraclinien bei $f_T + n · f_N$ lauten allgemein: | ||
| + | $$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Daraus folgt $A_T = D_1/J_1(η) = 1.560 V/0.520 = 3 V$. | ||
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| + | '''4.''' Mit der Forderung $\text{K < 1%}$ gilt folgende Faustformel (Carson–Regel): | ||
| + | $$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ....,$D_4$ zur Verfügung. | ||
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| + | '''5.''' Bei Frequenzmodulation gilt allgemein: | ||
| + | $$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz wird also der Modulationsindex halbiert: $η_4 = η_2/2 = 1.2$. | ||
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| + | '''6.''' Die für $\text{K < 1%}$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie unter Punkt d) zu $B_4 = 3.2 · 8 kHz = 25.6 kHz$. Aufgrund des um den Faktor 2 kleineren Modulationsindex genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf 1%, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ...,$D_3$ zu übertragen. | ||
'''7.''' | '''7.''' | ||
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Revision as of 17:20, 3 January 2017
Eine harmonische Schwingung der Form $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$ wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum $|S_+(f)|$ ermittelt. Mit der Nachrichtenfrequenz $f_N = 2 kHz$ sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen: $$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_N = 2 kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.
Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_N = 4 kHz$, so ergeben sich die dominanten Linien $$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$ sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand 4 kHz.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1 und Kapitel 3.2.
Fragebogen
Musterlösung
2. Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_T = 100 kHz$ schließen. Da bei $f_N = 2 kHz$ die Spektrallinie bei $f_T = 100 kHz$ verschwindet, ist $η_2 ≈ 2.4$ zu vermuten. Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:
$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$
3. Die Gewichte der Diraclinien bei $f_T + n · f_N$ lauten allgemein: $$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.05cm}.$$ Daraus folgt $A_T = D_1/J_1(η) = 1.560 V/0.520 = 3 V$.
4. Mit der Forderung $\text{K < 1%}$ gilt folgende Faustformel (Carson–Regel):
$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ....,$D_4$ zur Verfügung.
5. Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:
$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz wird also der Modulationsindex halbiert: $η_4 = η_2/2 = 1.2$.
6. Die für $\text{K < 1%}$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie unter Punkt d) zu $B_4 = 3.2 · 8 kHz = 25.6 kHz$. Aufgrund des um den Faktor 2 kleineren Modulationsindex genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf 1%, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ...,$D_3$ zu übertragen.
7.
