Mobile Communications/Non-Frequency-Selective Fading With Direct Component

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Kanalmodell und Rice–WDF

Die Rayleigh–Verteilung beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor z(t) allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt. Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch: Line of Sight, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen x(t) und y(t) noch Gleichkomponenten hinzufügen:

\[x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},\]

\[z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt das Rice–Fading–Kanalmodell. Als Sonderfall ergibt sich daraus wieder das Rayleigh–Modell, wenn man x₀ = y₀ = 0 setzt.

Das Rice–Fading–Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen:

• Der Realteil x(t) ist gaußverteilt (Mittelwert x₀, und Varianz σ²). Der Imaginärteil y(t) ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert y₀, Varianz σ²) sowie unabhängig von x(t).
  

• Für z₀ ≠ 0 ist der Betrag |z(t)| riceverteilt, woraus die Bezeichnung „Rice–Fading” herrührt. Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir |z(t)| = a(t). Für a ≤ 0 ist die Betrags–WDF f_a(a) identisch 0, für a ≥ 0 gilt folgende Gleichung für die Rice–WDF:

\[f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Hierbei bezeichnet I₀ die modifizierte Bessel–Funktion nullter Ordnung.

\[{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.\]

• Der Mobilfunkkanal ist um so besser für die Digitalsignalübertragung geeignet, je größer die „Direktpfadleistung” (|z₀|²) gegenüber den Leistungen der Streukomponenten (2σ²) ist.
  

• Ist |z₀| >> σ (Faktor 3 oder mehr), so kann die Rice–WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit dem Mittelwert |z₀| und der Streuung σ angenähert werden.
  

• Im Gegensatz zu Rayleigh (mit z₀ = 0) ist die Phase bei Rice–Fading nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung ϕ₀ = arctan(y₀/x₀). Oft setzt man <nobr>y₀ = 0</nobr>  ⇒  ϕ₀ = 0.
  

Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading (1)

Die Grafik zeigt Signalverläufe und Dichtefunktionen zweier Mobilfunkkanäle:

• Rayleigh–Fading mit E[|z(t)|²] = 2σ² = 1 (blaue Kurven),
  

• Rice–Fading mit gleichem σ sowie x₀ = 0.707 und y₀ = –0.707 (rote Kurven).
  
  

Für die Erzeugung der Signalausschnitte mit dem auf der letzten Seite gezeigten Modell wurde in beiden Fällen die maximale Dopplerfrequenz <nobr>f_D, max = 100 Hz</nobr> zugrundegelegt. AKF und LDS von Rayleigh– und Rice–Fading unterscheiden sich nur geringfügig. Es gilt:

\[\varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} + |z_0|^2 \hspace{0.05cm},\] \[ {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} + |z_0|^2 \cdot \delta (f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

Berücksichtigt ist, dass die Spektraldarstellung eines Gleichanteils zu einer Diracfunktion führt.

Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading (2)

Zu dieser Grafik ist anzumerken:

• Die Realteile x(t) von Rayleigh (blau), Rice (rot) unterscheiden sich durch die Konstante <nobr>x₀ = 0.707.</nobr> Die statistischen Eigenschaften sind ansonsten gleich: Gaußsche WDF mit Streuung σ = 0.707, entweder mittelwertfrei (Rayleigh) oder mit Mittelwert x₀ (Rice).
  

• Im Imaginärteil y(t) erkennt man bei Rice zusätzlich die Gleichkomponente <nobr>y₀ = –0.707.</nobr> Die (in der Grafik nicht dargestellte) WDF f_y(y) ist somit eine Gaußkurve mit der Streuung <nobr>σ = 0.707</nobr> um den Mittelwert –0.707, also achsensymmetrisch zur skizzierten WDF f_x(x).
  

• Die (logarithmische) Betragsdarstellung  ⇒  a(t) = |z(t)| zeigt, dass die rote Kurve meist oberhalb der blauen liegt. Dies wird auch aus der WDF deutlich. Beim Rice–Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN–Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da der Empfänger über den Rice–Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.
  

• Die WDF f_ϕ(ϕ) zeigt den Vorzugswinkel ϕ ≈ –45° des Rice–Kanals. Der komplexe Faktor z(t) befindet sich großteils im 4. Quadranten (wegen x₀ > 0, y₀ < 0), während beim Rayleigh–Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.
  

Aufgaben

A1.6 Rice–Fading – AKF/LDS

Zusatzaufgaben:1.6 Rayleigh und Rice im Vergleich

A1.7 WDF des Rice–Fadings