Aufgaben:Exercise 4.8Z: BPSK Error Probability

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Wir gehen von dem optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit

• bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_ν$ ∈ {–1, +1},
• rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten $±s_0$ und der Bitdauer $T_B$,
• AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,
• Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
• Entscheider mit optimalem Schwellenwert E = 0.

Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen: $$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$ Die Fehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems ist $$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$ Hierbei bezeichnet $σ_d$ den Rauscheffektivwert am

Entscheider und $Q(x)$ die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, die hier tabellarisch gegeben ist. Diese Fehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$ geschrieben werden, wobei $E_B$ die „Signalenergie pro Bit” angibt. Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit Binary Phase Shift Keying (BPSK) lautet: $$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{T_{\rm B}}}.$$ Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.2.

Fragebogen

1 Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit des Basisbandsystems?

$s_0 = 4V: p_{BB}$ = $10^{-4}$

2 Wie groß ist die Energie pro Bit beim Basisbandsystem?

$s_0 = 4V: E_B$ = $10^{-8}$ $V^2 s$

3 Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei halber Sendeamplitude?

$s_0 = 2V: p_{BB}$ = $10^{-1}$

4 Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten $E-B/N_0$ an. Welches Ergebnis stimmt?

	$p_{BPSK} = Q[(E_B/N_0)^{1/2}],$
	$p_{BPSK} = Q[(2E_B/N_0)^{1/2}],$
	$p_{BPSK} = Q[(4E_B/N_0)^{1/2}].$

5 Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich bei der BPSK für $E_B/N_0 = 8$ und $E_B/N_0 = 2$?

$E_B/N_0 = 8: p_{BPSK}$ = $10^{-4}$

$E_B/N_0 = 2: p_{BPSK}$ = $10^{-1}$

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.