Exercise 5.2Z: DFT of a Triangular Pulse

Betrachtet wird der skizzierte Dreieckimpuls

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \cdot \left( 1 - {|t|}/{T} \right ) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le T,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T.} \\ \end{array}$$

Die Signalparameter haben folgende Werte:

Amplitude $A = 4 \ \text{V}$,

äquivalente Impulsdauer $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$:

Das Spektrum $X(f)$ erhält man durch Anwendung des ersten Fourierintegrals:

$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$

Die Spektralfunktion soll nun durch eine Diskrete Fouriertransformation (DFT) mit $N = 8$ angenähert werden, wobei die $N$ Koeffizienten für den Zeitbereich ⇒ $d(0), ... , d(7)$, der Grafik entnommen werden können.

Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0), ... , D(7)$ sind in dieser Aufgabe zu ermitteln, wobei für die Indizes $\mu = 0, ... , N–1$ gilt:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_{\rm A}$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:

$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Diskrete Fouriertransformation (DFT).
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul:

Diskrete Fouriertransformation

Fragebogen

$d(0)$ =

$\text{V}$

$d(3)$ =

$\text{V}$

$d(6)$ =

$\text{V}$

$T_{\rm A}$ =

$\text{ms}$

$f_{\rm A}$ =

$\text{kHz}$

$D(0)$ =

$\text{V}$

$D(2)$ =

$\text{V}$

$D(7)$ =

$\text{V}$

Musterlösung

Solution

1. Aus der Grafik ergeben sich mit $A = 4 \ {\rm V}$ folgende Werte:

$${d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(1) = d(7) = 3\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(2) = d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(3) = d(5) = 1\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(4) = 0}\hspace{0.05cm}. $$

$$\Rightarrow \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(3) = 1\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}} \hspace{0.05cm}. $$

2. Entsprechend der Grafik gilt $T_{\rm A} = T/4$. Mit $T = 1 \ \text{ms}$ erhält man somit $\underline{T_{\rm A} = 0.25 \ \text{ms}}$.

3. Für die Abständen der Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich gilt:

$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A}= \frac{1}{ 8 \cdot 0.25\, {\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\, {\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$

4. Mit $N = 8$ und $\mu = 0$ folgt aus der DFT–Gleichung

$$D(0) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4+3+2+1+0+1+2+3)\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt:

$$X(f=0) = \frac{D(0)}{f_{\rm A}}= \frac{ 2\,{\rm V}}{0.5\,{\rm kHz}}= 4 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$

Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert ⇒ $A \cdot T$ überein.

5. Mit $N = 8$ und $\mu = 2$ erhält man:

$$D(2) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot (-{\rm j})^{\nu} $$

$$\Rightarrow \; \; D(2) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können. Die DFT-Koeffizienten $D(\mu)$ sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand $T_{\rm P} = 2T$ periodifizierten Funktion $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.

Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten gleich $0$ ⇒ $D(4)\underline{=0},$ $D(6)\underline{=0},$.

6. Der Koeffizient $D(7)$ beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:

$$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$

Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten:

$$D(1) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot \cdot \left(4 +3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}-2\cdot {\rm j}+ \frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ \frac{-1 + {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ 2\cdot {\rm j}+3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}\right)$$

$$\Rightarrow \; \; D(1) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Da $D(1)$ rein reell ist, gilt $D(7) = D(1) \; \underline{= 0.854 \ {\rm V}}$. Daraus ergeben sich für die zugehörigen Werte der kontinuierlichen Spektralfunktion:

$$X(f=-f_{\rm A}) = X(f=+f_{\rm A}) =\frac{D(1)}{f_{\rm A}}= 1.708 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$

Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert $4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz}$ nicht exakt überein. Der relative Fehler beträgt somit ca. $5.3\%$.