Exercise 4.4: Coaxial Cable - Frequency Response

Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge $l$ mit

dem Kerndurchmesser 2.6 mm,
dem Außendurchmesser 9.5 mm, und

besitzt den folgenden Frequenzgang: $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot

 {\rm e}^{- \alpha_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}  \cdot 
 {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}   \hspace{0.05cm}.$$

Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer” (Np/km) einzusetzen und die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer” (rad/km). Es gelten folgende Zahlenwerte: $$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}

 \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},
 \hspace{0.2cm}
 \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems

die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):

$${\rm a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|

   \hspace{0.05cm},$$

die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad):

$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)

   \hspace{0.05cm}.$$

In der Praxis benutzt man häufig die Näherung $$H_{\rm K}(f) =

 {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}  \cdot
 {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2  \cdot l \cdot
 \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
 {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel) $${\rm a}_{\rm \star(Np)} = {\rm a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {\rm a}_{\rm \star(dB)}$$ lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Koaxialkabeln.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das Interaktionsmodul Dämpfung von Kupferkabeln benutzen.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. Der α₀–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der β₁–Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4.

2. Mit a₀ = a₀ · l muss folgende Gleichung erfüllt sein:

$${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99

 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln}
 \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)}
 \hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man für die maximale Kabellänge

$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}

 \hspace{0.05cm}.$$

3. Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:

$$a_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot

 \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l = \\
  =  [0.00162 + 0.000435  \cdot 70 + 0.2722   \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \\
  =  [0.003 + 0.061  + 4.555   \hspace{0.05cm}]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$

4. Entsprechend der Berechnung bei Punkt 3) erhält man hier den Dämpfungswert 4.555 Np.

5. Für eine jede positive Größe x gilt:

$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}

 =   \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot
 (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm

Np}\hspace{0.05cm}.$$

Der Dämpfungswert 4.555 Np ist somit identisch mit 39.56 dB.

6. Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit α₂ gilt für den Frequenzgang:

$$H_{\rm K}(f) =

 {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}  \cdot
 {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f}  \cdot
 {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 \sqrt{f}}   \hspace{0.05cm}.$$

Verzichtet man auf den β₁–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert τ₁ = (β₁ · l)/2π kleiner.

Verzichtet man auf den β₂–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:

Der Frequenzgang H_K(f) erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen muss H_K(f) minimalphasig sein.

Die Impulsantwort h_K(t) ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um t = 0, was nicht den Gegebenheiten entspricht.

Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:

$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot

 \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
 {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: a_K(f) und b_K(f) eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.

Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate R = 140 Mbit/s ⇒ R/2 = 70 Mbit/s und der Kabellänge l = 2 km gilt tatsächlich a_∗ ≈ 40 dB (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe). Ein System mit vierfacher Bitrate (R/2 = 280 Mbit/s) und halber Länge (l = 1 km) führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung. Dagegen gilt für ein System mit R/2 = 35 Mbit/s und l = 2 km:

$$a_{\rm dB} = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz}

\cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB}
\hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1, 4 und 5.

	$\alpha_0$–Term,
	$\alpha_1$–Term,
	$\alpha_2$–Term,
	$\beta_1$–Term,
	$\beta_2$–Term,

	Man kann auch auf den Phasenterm mit $\beta_1$ verzichten.
	Man kann auch auf den Phasenterm mit $\beta_2$ verzichten.
	$\rm a_\star \approx 40 \ db$ gilt für ein System mit $R = 70 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$.
	$\rm a_\star \approx 40 \ db$ gilt für ein System mit $R = 140 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$.
	$\rm a_\star \approx 40 \ db$ gilt für ein System mit $R = 560 \ \rm Mbit/s$ und $l = 1 \ \rm km$.