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Allgemeine Beschreibung der Binomialverteilung
Die Binomialverteilung stellt einen wichtigen Sonderfall für die Auftrittswahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsgröße dar.
Zur Herleitung der Binomialverteilung gehen wir davon aus, dass I binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen bi
- den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit Pr(bi=1)=p, und
- den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit Pr(bi=0)=1−p annehmen kann.
Dann ist die Summe z ebenfalls eine diskrete Zufallsgröße mit dem Symbolvorrat {0,1,2,...,I}, die man als binomialverteilt bezeichnet:
- z=I∑i=1bi.
Der Symbolumfang beträgt somit M=I+1.
Die Binomialverteilung findet in der Nachrichtentechnik ebenso wie in anderen Disziplinen mannigfaltige Anwendungen:
- Sie beschreibt die Verteilung von Ausschussstücken in der statistischen Qualitätskontrolle.
- Sie erlaubt die Berechnung der Restfehlerwahrscheinlichkeit bei blockweiser Codierung.
- Auch die per Simulation gewonnene Bitfehlerquote eines digitalen Übertragungssystems ist eigentlich eine binomialverteilte Zufallsgröße.
Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung
Für die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung gilt mit μ=0,...,I: pμ=Pr(z=μ)=(Iμ)⋅pμ⋅(1−p)I−μ. Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen („I über μ”) an: (Iμ)=I!μ!⋅(I−μ)!=I⋅(I−1)⋅ ⋯ ⋅(I−μ+1)1⋅2⋅ ⋯ ⋅μ.
Weitere Hinweise:
- Für sehr große Werte von I kann die Binomialverteilung durch die im nächsten Abschnitt beschriebene Poissonverteilung angenähert werden.
- Ist gleichzeitig das Produkt I·p≫1, so geht nach dem Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace die Poissonverteilung (und damit auch die Binomialverteilung) in eine diskrete Gaußverteilung über.
Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung sind für I=6 und p=0.4. Von Null verschieden sind somit M=I+1=7 Wahrscheinlichkeiten.
Dagegen ergeben sich für I=6 und p=0.5 die folgenden Binomialwahrscheinlichkeiten: Pr(z=0)=Pr(z=6)=1/64=0.015625,Pr(z=1)=Pr(z=5)=6/64=0.09375,Pr(z=2)=Pr(z=4)=15/64=0.234375,Pr(z=3)=20/64=0.3125.
Diese sind symmetrisch bezüglich des Abszissenwertes μ=I/2.
Mit nachfolgendem Berechnungsmodul können Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten auch für andere Parameterwerte I und p ermitteln:
Ereigniswahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung
Blockfehlerwahrscheinlichkeit
Ein weiteres Beispiel für die Anwendung der Binomialverteilung ist die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei einem digitalen Übertragungssystem.
Überträgt man jeweils Blöcke von I=10 Binärsymbolen über einen Kanal, der
- mit der Wahrscheinlichkeit p=0.01 ein Symbol verfälscht ⇒ Zufallsgröße ei=1, und
- entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p = 0.99 das Symbol unverfälscht überträgt ⇒ Zufallsgröße e_i = 0,
so gilt für die neue Zufallsgröße f („Fehler pro Block”): f=\sum_{i=1}^{I}e_i.
Die Zufallsgröße f kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen 0 (kein Symbol verfälscht) und I (alle Symbole falsch) annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten für \mu Verfälschungen bezeichnen wir mit p_μ.
- Der Fall, dass alle I Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044 ein. Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für μ = 0 unter Berücksichtigung der Definition „10 über 0“ = 1.
- Ein einziger Symbolfehler (f = 1) tritt mit folgender Wahrscheinlichkeit auf:
- p_1 = \rm 10\cdot 0.01\cdot 0.99^9\approx 0.0914.
Der erste Faktor berücksichtigt, dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau „10 über 1“ = 10 Möglichkeiten gibt. Die beiden weiteren Faktoren beücksichtigen, dass ein Symbol verfälscht und neun richtig übertragen werden müssen, wenn f =1 gelten soll.
- Für f =2 gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich „10 über 2“ = 45, und man erhält
- p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.
Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehlern korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit p_{\rm R} = \it p_{\rm 3} \rm +... \rm + \it p_{\rm 10}\approx \rm 10^{-4}, oder p_{\rm R} = \rm 1-\it p_{\rm 0}-\it p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx \rm 10^{-4}.
Man erkennt, dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement schneller zum Ziel führt. Man könnte aber auch berücksichtigen, dass bei diesen Zahlenwerten p_{\rm R} ≈ p_3 gilt.
Momente der Binomialverteilung
Die Momente können mit den Gleichungen im Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße und den Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung allgemein berechnet werden.
Für das Moment k-ter Ordnung einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt: m_k=\rm E[\it z^k \rm ]=\sum_{\mu={\rm 0}}^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.
Daraus erhält man nach einigen Umformungen für
- den linearen Mittelwert:
- m_1 = I\cdot p,
- den quadratischen Mittelwert:
- m_2 = (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p.
Die Varianz und die Streuung erhält man durch Anwendung des „Steinerschen Satzes”:
- \sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma = \sqrt{I \cdot p\cdot (1-p)}.
Die maximale Varianz σ^2 = I/4 ergibt sich für die charakteristische Wahrscheinlichkeit p = 1/2. In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeit symmetrisch um den Mittelwert m_1 = I/2 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}.
Je mehr die charakteristische Wahrscheinlichkeit p vom Wert 1/2 abweicht,
- um so kleiner ist die Streuung σ, und
- um so unsymmetrischer werden die Wahrscheinlichkeiten um den Mittelwert m_1 = I · p.
Wir betrachten wie im letzten Beispiel einen Block von I =10 Binärsymbolen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p = 0.01 unabhängig voneinander verfälscht werden. Dann gilt:
- Die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block ist gleich m_f = {\rm E}[ f] = I · p = 0.1.
- Die Streuung (Standardabweichung) der Zufallsgröße f beträgt σ_f = \sqrt{0.1 \cdot 0.99}≈ 0.315.
Im vollständig gestörten Kanal ⇒ Verfälschungswahrscheinlichkeit p = 1/2 ergeben sich demgegenüber die Werte
- m_f = 5 ⇒ im Mittel sind fünf der zehn Bits innerhalb eines Blocks falsch,
- σ_f = \sqrt{I}/2 ≈1.581 ⇒ maximale Streuung für I = 10.
Aufgaben zum Kapitel
Aufgabe 2.3: Summe von Binärzahlen
Aufgabe 2.4: Zahlenlotto (6 aus 49)
