Exercise 3.1Z: Triangular PDF

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Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. Der Minimalwert des Signals ist $x_{min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Dagegen ist der maximale Wert $x_{max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.

Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze) $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$

so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen (5) und (6) betrachtet wird.

Für die Teilaufgaben (1) und (2) gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $; für alle weiteren Teilaufgaben ist x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Es gilt folgende Gleichung:

$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Inhalt von Kapitel 3.1.

Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das folgende Lernvideo:

Fragebogen

1

Es sei x_max = 2V. Berechnen Sie den Parameter A = f_x(0).

$x_\text{max}\ =\ 2V:\ \ \ \ A$ = 1/V

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist |x(t)| kleiner als x_max/2?

$x_\text{max}\ =\ 2V:\ \ \ \ Pr(|x|\ <\ 1V)$ =

3

Nun gelte x_max = 4V. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen 1V und 3V liegt?

$x_\text{max}\ =\ 4V:\ \ \ \ Pr(1V\ <\ x\ <\ 3V)$ =

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass x genau gleich 2V ist?

$x_\text{max}\ =\ 4V:\ \ \ \ Pr(x\ =\ 2V)$ =

5

Es sei x_max = 4V. Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	y ist eine kontinuierliche Zufallsgröße.
	y ist eine diskrete Zufallsgröße.
	y ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgröße.

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass y genau gleich 2V ist?

$x_\text{max}\ =\ 4V:\ \ \ \ Pr(y\ =\ 2V)$ =

Musterlösung

Solution

1.  Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert 1 ergeben. Daraus folgt:

$$\frac{\it A}{\rm 2}\cdot \rm 4V=\rm 1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\it A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$

2.  Mit x_max = 2V ergibt sich die WDF nach der linken Grafik. Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit und man erhält durch einfache geometrische Überlegungen:

$$\rm Pr(|\it x|<\rm 1V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$

3.  Mit x_max = 4V erhält man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert A = 1/(3V). Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann:

$$\rm Pr(1V<\it x<\rm 3V)=\rm \frac{1}{6V}\cdot 2V={1}/{3} = \hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$

4.  Die Wahrscheinlichkeit Pr(x = 2 V) ist definitionsgemäß gleich null, da x eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.

5.  Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend. Die WDF f_y(y) beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil, aber auch eine Diracfunktion an der Stelle y = 2V mit dem Gewicht Pr(x > 2V).

6.  Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße y dargestellt.

Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (c) erkennt man den Zusammenhang:

$$\rm Pr(\it y=\rm 2 V) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}\rm Pr(\it x>\rm 2 V) = \rm \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6V}\cdot{2V}=\\ = \hspace{-0.15cm}\rm {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$