Exercise 4.8Z: AWGN Channel

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Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind. Der Effektivwert $\sigma_s$ dieses mittelwertfreien Signals beträgt $1 \hspace{0.05cm} \rm V$. Diese Größe bezeichnet man auch als die Streuung.

Bei der Übertragung wird $s(t)$ von einem Störsignal $n(t)$ additiv überlagert, das ebenso wie $s(t)$ als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann. Der Effektivwert (die Streuung) des Störsignals sei allgemein $\sigma_n$. Es kann angenommen werden, dass zwischen Nutzsignal $s(t)$ und Störsignal $n(t)$ keine statistischen Abhängigkeiten bestehen.

Man bezeichnet eine solche Konstellation als Additive White Gaussian Noise (AWGN) und verwendet als Qualitätskriterium für das Empfangssignal $r(t)$ das Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis (Signal-to-Noise-Ratio):

$${\rm SNR} = {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Linearkombinationen von Zufallsgrößen.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Geben Sie die WDF $f_r(r)$ des Empfangssignals $r(t)$ allgemein an. Wie groß ist der Effektivwert $\sigma_r$, wenn $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ beträgt?

$\sigma_r \ = $ $ \ \rm V$

2

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$, der zwischen den beiden Signalen $s(t)$) und $r(t)$ besteht. Welcher Wert ergibt sich für $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?

$\rho_{sr} \ = $

3

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$ abhängig vom SNR des AWGN-Kanals. Leiten Sie eine Näherung für großes SNR ab.
Welcher Koeffizient ergibt sich für $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$?

$10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$:   $\rho_\text{sr} \ = $

Musterlösung

Solution

1.  Es gilt r(t) = s(t) + n(t). Somit kann f_r(r) aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen f_s(s) und f_n(n) berechnet werden. Da beide Signale gaußverteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gaußfunktion:

$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$

Die Varianzen von s(t) und n(t) addieren sich. Deshalb erhält man mit σ_s = 1 V und σ_n = 0.75 V:

$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$

2.  Für den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment m_sr:

$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass s(t) und auch r(t) mittelwertfrei sind, so dass μ_sr = m_sr gilt. Da s(t) und n(t) als statistisch unabhängig voneinander – und damit unkorreliert – vorausgesetzt wurden, gilt weiter:

$$m_{sr} = {\rm E}[s(t) \cdot r(t)] = {\rm E}[s^2(t)] + {\rm E}[s(t) \cdot n(t)] ={\rm E}[s^2(t)] = \sigma_s^2.$$

Daraus folgt:

$$\rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{ \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ \frac{\sigma_n^2}{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$

Mit σ_s = 1 V, σ_n = 0.75 V und σ_r = 1.25 V erhält man ρ_sr = 0.8.

3.  Der in b) berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung SNR = σ_s²/σ_n² wie folgt dargestellt werden:

$$\rho_{sr } = \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{ {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx 1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$

Der Signal-zu-Stör-Abstand 10 · lg(SNR) = 30 dB führt zum absoluten Wert SNR = 1000. In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies näherungsweise einen Korrelationskoeffizienten von 0.9995.