Exercise 4.3Z: Dirac-shaped "2D-PDF"

In der Grafik ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{xy}(x, y)$ der zwei diskreten Zufallsgrößen $x$ und $y$ dargestellt.

Diese 2D–WDF besteht aus acht Diracpunkten, durch Kreuze markiert. Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
Es ist zu erkennen, dass sowohl $x$ als auch $y$ alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen $-2$ und $+2$ annehmen können.
Die Varianzen der beiden Zufallsgrößen sind wie folgt gegeben: $\sigma_x^2 = 2$, $\sigma_y^2 = 1.4$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
Bezuig genommen wird auch auf das Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	Die Wahrscheinlichkeiten für $-2$, $-1$ $0$, $+1$ und $+2$ sind gleich.
	Die Zufallsgröße $x$ ist mittelwertfrei ($m_x = 0$).
	Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(x \le 1)$ ist $0.9$.

	Die Wahrscheinlichkeiten für $-2$, $-1$ $0$, $+1$ und $+2$ sind gleich.
	Die Zufallsgröße $y$ ist mittelwertfrei ($m_y = 0$).
	Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(y \le 1)$ ist $0.9$.

$F_{xy}(+1, +1) \ =$

${\rm Pr}(x ≤ 1\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}y ≤ 1)\ =$

$m_{xy}\ =$

$\rho_{xy}\ =$

$\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x}\ =$

$\ \rm Grad$

	Die Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind statistisch unabhängig.
	Man erkennt bereits aus der vorgegebenen 2D-WDF, dass $x$ und $y$ statistisch voneinander abhängen.
	Aus dem berechneten Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$ kann man auf die statistische Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ schließen.

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die beiden ersten Antworten:

Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ erhält man aus der 2D–WDF $f_{xy}(x, y)$ durch Integration über $y$.
Für alle möglichen Werte $ x \in \{-2, -1, 0, +1, +2\}$ sind die Wahrscheinlichkeiten gleich $0.2$.
Es gilt ${\rm Pr}(x \le 1)= 0.8$ und der Mittelwert ist $m_x = 0$.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Durch Integration über $x$ erhält man die rechts skizzierte WDF $f_{y}(y)$.
Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert $m_y = 0$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(y \le 1)= 0.9$.

(3) Definitionsgemäß gilt: $$F_{xy}(r_x, r_y) = \rm Pr((\it x \le r_x)\cap(\it y\le r_y)).$$

Für $r_x = r_y = 1$ folgt daraus: $$F_{xy}(+1, +1) = {\rm Pr}((x \le 1)\cap(y\le 1)).$$

Wie aus der 2D–WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}((x \le 1)\cap(y\le 1))\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.

(4) Hierfür kann mit dem Satz von Bayes auch geschrieben werden: $$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr((\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1))}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy}(\rm 1, \rm 1)}{F_{y}(\rm 1)}.$$

Mit den Ergebnissen aus (2) und (3) folgt daraus $ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = 0.8/0.9 = 8/9 \hspace{0.15cm}\underline{=0.889}$.

(5) Entsprechend der Definition gilt für das gemeinsame Moment: $$m_{xy} = {\rm E}[x\cdot y] = \sum\limits_{i} {\rm Pr}( x_i \cap y_i)\cdot x_i\cdot y_i. $$

Es verbleiben fünf Diracfunktionen mit $x_i \cdot y_i \ne 0$: $$m_{xy} = \rm 0.1\cdot (-2) (-1) + 0.2\cdot(-1) (-1)+ 0.2\cdot 1\cdot 1 + 0.1\cdot 2\cdot 1+ 0.1\cdot 2\cdot 2\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.2}.$$

(6) Für den Korrelationskoeffizienten gilt: $$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.717}.$$

Hier ist berücksichtigt, dass wegen $m_x = m_y = 0$ die Kovarianz $\mu_{xy}$ gleich dem Moment $m_{xy}$ ist.

Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet: $$y=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot \rho_{xy}\cdot x = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x^{\rm 2}}\cdot x = \rm 0.6\cdot \it x.$$

Im Bild ist die Gerade $y = K(x)$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen Korrelationsgerade und $x$-Achse beträgt $\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x} = \arctan(0.6) \hspace{0.15cm}\underline{=31^\circ}.$

(7) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Bei statistischer Unabhängigkeit müsste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$ gelten, was hier nicht erfüllt ist.
Aus der Korreliertheit (folgt aus $\rho_{xy} \ne 0$) kann direkt auf die statistische Abhängigkeit geschlossen werden, denn Korrelation bedeutet eine Sonderform der statistischen Abhängigkeit, nämlich die lineare statistische Abhängigkeit.