Exercise 4.13Z: AMI Code

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Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte Pseudoternärcodes. Bei diesen Codes wird die binäre Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle$ nach einer festen Vorschrift in eine Folge $\langle c_\nu \rangle$ von Ternärsymbolen umgesetzt:

$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$

Der bekannteste Vertreter dieser Codeklasse ist der AMI-Code (von Alternate Mark Inversion). Hier wird

• der Binärwert $q_\nu = -1$ stets auf $c_\nu = 0$ abgebildet,
• während $q_\nu = +1$ abwechselnd (alternierend) durch die Ternärwerte $c_\nu = +1$ und $c_\nu = -1$ dargestellt wird.

Vereinbarungsgemäß wird beim ersten Auftreten von $q_\nu = +1$ das Ternärsymbol $c_\nu = +1$ ausgewählt.

Weiter wird vorausgesetzt, dass die zwei möglichen Quellensymbole jeweils gleichwahrscheinlich sind und die Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle$ keine inneren statistischen Bindungen aufweist. Somit sind alle diskreten AKF-Werte gleich $0$ mit Ausnahme von $\varphi_q(k=0)$: $$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$

Hierbei bezeichnet $T$ den Abstand der Quellen– bzw. Codesymbole. Verwenden Sie den Wert $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$.

Das Bild zeigt die gegebenen Autokorrelationsfunktionen. Bitte beachten Sie:

• Rot eingezeichnet sind jeweils die zeitdiskreten Darstellungen ${\rm A} \{ \varphi_q(\tau) \}$ und ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$ der Autokorrelationsfunktionen, jeweils mit dem Bezugswert $T$ .
• Die blau dargestellten Funktionen zeigen die zeitkontinuierlichen Verläufe $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_c(\tau)$ der AKF, wobei Rechtecksignale vorausgesetzt sind.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Leistungsdichtespektrum.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion sowie auf die Seite Numerische_LDS-Ermittlung.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Benutzen Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei ${\rm \Delta} (t)$ einen um $t = 0$ symmetrischen Dreieckimpuls mit ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$ und ${\rm \Delta} (t) = 0$ für $|t| \ge T$ bezeichnet:

$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$

Fragebogen

1

Wie groß ist der diskrete AKF-Wert der Quellensymbole für $k = 0$?

$\varphi_q(k=0) \ = $

2

Welche Aussagen gelten für die LDS–Funktionen ${\it \Phi}_q(f)$ und ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$?

	${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$ ist für alle Frequenzen eine Konstante.
	${\it \Phi}_q(f)$ ist für $|f \cdot T| < 0.5$ konstant und außerhalb $0$.
	${\it \Phi}_q(f)$ verläuft $\rm si^2$-förmig.

3

Die Quellensymbolfolge sei $\langle q_\nu \rangle = \langle +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1 \rangle$.
Wie lauten die Codesymbole $c_\nu$? Geben Sie das Codesymbol $c_6$ ein.

$c_6 \ = $

4

Wie groß ist der diskrete AKF-Wert der Codesymbole für $k = 0$.

$\varphi_c(k=0) \ = $

5

Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_c(k=+1)$ und $\varphi_c(k=-1)$.

$\varphi_c(k=+1) \ = $

$\varphi_c(k=-1) \ = $

6

Welche spektrale Leistungsdichte ${\it \Phi}_c(f)$ ergibt sich für die Frequenz $f=0$ bzw. für $f = 500 \hspace{0.05cm} \rm kHz$.
Hinweis: Für $|k| \ge 2$ sind alle AKF-Werte $\varphi_c(k) \equiv 0$.

${\it \Phi}_c(f = 0) \ = $ $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

${\it \Phi}_c(f = 500 \hspace{0.05cm} \rm kHz)\ = $ $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

Musterlösung

Solution

1.  Der diskrete AKF-Wert für k = 0 gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an. Da q_ν nur die Werte –1 und +1 annehmen kann, ist φ_q(k = 0) = 1.

2.  Die zeitdiskrete AKF und deren Fouriertransformierte lauten:

$${\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T \cdot \delta (\tau) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\it \Phi_q}( f) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T = T.$$

Es ist berücksichtigt, dass φ_q(k = 0) = σ_q² = 1 ist. Das bedeutet: Die periodische Fortsetzung von Φ_q(f) ergibt für alle Frequenzen den gleichen Wert.

Dagegen kann die zeitkontinuierliche AKF wie folgt dargestellt werden:

$$ \varphi_q ( \tau ) = {\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} \star ( {\rm \Delta} ( \tau) / T ).$$

Das dazugehörige Leistungsdichtespektrum (Fouriertransformierte der AKF) ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme:

$$ {\it \Phi_q} ( f) = {\rm P} \{ {\it \Phi_q}( f) \} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) = T \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) .$$

Aufgrund der gewählten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein si²-förmiges LDS. Ein rechteckförmiges Spektrum (Lösungsvorschlag 2) würde sich nur bei <nobr>si-förmiger</nobr> Interpolation einstellen. Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.

3.  Die codierte Folge lautet: +1, 0, –1, +1, 0, –1, +1, 0, 0, 0. Das 6. Symbol ist somit c₆ = –1.

4.  Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte –1, 0 und +1 sind 0.25, 0.5, 0.25. Daraus folgt:

$$\varphi_c ( k = 0) = 0.25 \cdot (-1)^2 + 0.5 \cdot 0^2 +0.25 \cdot (+1)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}. $$

5.  Für den AKF-Wert bei k = 1 betrachtet man das Produkt c_ν · c_ν+1. Es ergeben sich die unten gezeigten Kombinationen. Einen Beitrag liefern nur Produkte c_ν · c_ν+1 ≠ 0 mit Pr[c_ν ∩ c_ν+1] ≠ 0:

$$\varphi_c ( k = 1) = {\rm Pr} \left ( ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \right ) \cdot (+1) \cdot (-1) \\ + {\rm Pr} \left ( ( c_{\nu} = -1) \cap ( c_{\nu + 1} = +1) \right ) \cdot (-1) \cdot (+1).$$

In der Tabelle sind diese Terme rot gekennzeichnet. Weiter gilt:

$$ {\rm Pr} \left ( ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \right ) = {\rm Pr} ( c_{\nu} = +1) \cdot {\rm Pr} \left ( c_{\nu + 1} = -1\hspace{0.1cm} | \hspace{0.1cm}c_{\nu } = +1) \right ) \\ = {1}/{4} \hspace{0.1cm}\cdot\hspace{0.1cm} {1}/{2}\hspace{0.1cm} =\hspace{0.1cm} {1}/{8} . $$

Hierbei ist vorausgesetzt, dass „+1“ mit der Wahrscheinlichkeit 0.25 auftritt und danach „–1“ nur in der Hälfte der Fälle folgt. Das gleiche Ergebnis erhält man für den zweiten Beitrag. Damit gilt:

$$\varphi_c ( k = 1) = \frac {1}{8} \cdot (+1)\cdot (-1) + \frac {1}{8} \cdot (-1)\cdot (+1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$

Für k = –1 ergibt sich aus Symmetriegründen der gleiche Wert. Zur Berechnung von φ_c(k = 2) muss über 3³ = 27 Kombinationen gemittelt werden. Das Ergebnis ist jedoch Null.

6.  Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF A{φ_c(τ)} lautet:

$$P \{{\it \Phi_c}( f) \} = T\cdot \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$

Mit dem Ergebnis von 5) folgt daraus:

$$P \{{\it \Phi}_c( f) \} = \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$

Wie unter Punkt (b) gezeigt, gilt dann für das LDS – also die Fouriertransformierte von φ_c(τ):

$${\it \Phi_c}( f) = T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ) \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi f T )}{( \pi f T )^2 } .$$

Bei der Frequenz f = 0 ergibt sich der Wert 0. Für f = 500 kHz erhält man f · T = 0.5 und somit:

$${\it \Phi_c}( f = {\rm500 \hspace{0.1cm}kHz}) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi /2 )}{( \pi /2 )^2 } = \frac {4 T}{\pi^2} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.405 \cdot 10^{-6} {1}/{Hz}}.$$