Exercise 4.15: PDF and Covariance Matrix

Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ in der Grafik angegeben ist. Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:

Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:

$$K_{ij} = \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \rho_{ij}.$$

Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:

$$ K_{11} =1, K_{22} =0, K_{33} =0.25.$$

Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten $x_1$ und $x_3$ beträgt $\rho_{13} = 0.8$.

Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße $\mathbf{y}$ mit den beiden Komponenten $y_1$ und $y_2$ betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$ durch die angegebenen Zahlenwerte $(1, 0.4, 0.25)$ bestimmt ist.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{y}$ lautet gemäß den Angaben auf der Seite Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF mit $N = 2$:

$$\mathbf{f_y}(\mathbf{y}) = \frac{1}{{(2 \pi) \cdot \sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm exp}{\left(-\frac{1}{2}\cdot \mathbf{y} ^{\rm T}\cdot\mathbf{K_y}^{-1} \cdot \mathbf{y} \right)}= C \cdot {\rm exp}{\left(-\gamma_1 \cdot y_1^2 + \gamma_2 \cdot y_2^2 +\gamma_{12} \cdot y_1 \cdot y_2 \right)}.$$

In den Teilaufgaben (5) und (6) sollen der Vorfaktor $C$ und die weiteren WDF-Koeffizienten $\gamma_1$, $\gamma_2$ und $\gamma_{12}$ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden. Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen lauten:

$$f_{y_1,\hspace{0.1cm}y_2}(y_1,y_2)=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 (1-\rho^{\rm 2})}\cdot(\frac { y_1^{\rm 2}}{\sigma_1^{\rm 2}}+\frac { y_2^{\rm 2}}{\sigma_2^{\rm 2}}-\rm 2\rho \frac{{\it y}_1{\it y}_2}{\sigma_1 \cdot \sigma_2}) \rm \Bigg].$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	Die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
	Die Matrixelemente $K_{12}$, $K_{212}$, $K_{23}$ und $K_{32}$ sind $0$.
	Es gilt $K_{31} = -K_{13}$.

$K_\text{31} \ = $

$|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ = $

$I_\text{11} \ = $

$I_\text{12} \ = $

$I_\text{21} \ = $

$I_\text{22} \ = $

$C\ = $

$\gamma_1 \ = $

$\gamma_2 \ = $

$\gamma_{12}\ = $

Musterlösung

Solution

1. Anhand der Kovarianzmatrix K_x ist keine Aussage darüber möglich, ob die zugrunde liegende Zufallsgröße x mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist, da ein eventueller Mittelwert m herausgerechnet wird. Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können, müsste die Korrelationsmatrix R_x bekannt sein. Aus K₂₂ = (σ₂)² = 0 folgt zwingend, dass alle Elemente in der zweiten Zeile (K₂₁, K₂₃₎ und der zweiten Spalte (K₁₂, K₃₂₎ ebenfalls 0 sind. Dagegen ist die dritte Aussage falsch: Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets K₃₁ = K₁₃ gelten muss. Richtig ist nur der Vorschlag 2.

2. Aus K₁₁ = 1 und K₃₃ = 0.25 folgen direkt σ₁ = 1 und σ₃ = 0.5. Zusammen mit dem Korrelationskoeffizienten ρ₁₃ = 0.8 (siehe Angabenblatt) erhält man somit:

$$K_{13} = K_{31} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \rho_{13}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.4}.$$

3. Die Determinante der Matrix K_y lautet:

$$|{\mathbf{K_y}}| = 1 \cdot 0.25 - 0.4 \cdot 0.4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.09}.$$

4. Entsprechend den Angaben auf der Seite „Determinante und inverse Matrix” gilt:

$${\mathbf{I_y}} = {\mathbf{K_y}}^{-1} = \frac{1}{|{\mathbf{K_y}}|}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 0.25 & -0.4 \\ -0.4 & 1 \end{array} \right].$$

Mit |K_y| = 0.09 gilt deshalb weiter:

$$I_{11} = \frac{25}{9}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.777};\hspace{0.3cm} I_{12} = I_{21} ='"`UNIQ--h-0--QINU`"'-\frac{40}{9} \hspace{0.15cm}\underline{ = -4.447};\hspace{0.3cm}I_{22} = \frac{100}{9} \hspace{0.15cm}\underline{= 11.111}.$$

5. Ein Vergleich der Matrizen K_y und K_x unter der Nebenbedingung K₂₂ = 0 zeigt, dass x und y identische Zufallsgrößen sind, wenn man y₁ = x₁ und y₂ = x₃ setzt. Somit gilt für die WDF-Parameter:

$$\sigma_1 =1, \hspace{0.3cm} \sigma_2 =0.5, \hspace{0.3cm} \rho = 0.8.$$

Der Vorfaktor entsprechend Kapitel 4.2 ist somit:

$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}= \frac{\rm 1}{\rm 2\pi \cdot 1 \cdot 0.5 \cdot 0.6}= \frac{1}{0.6 \cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.531}.$$

Mit der in der Teilaufgabe 3) berechneten Determinante ergibt sich das gleiche Ergebnis:

$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{|{\mathbf{K_y}}|}}= \frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{0.09}} = \frac{1}{0.6 \cdot \pi}.$$

6. Die unter Punkt 4) berechnete inverse Matrix kann auch wie folgt geschrieben werden:

$${\mathbf{I_y}} = \frac{5}{9}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ -8 & 20 \end{array} \right].$$

Somit lautet das Argument A der Exponentialfunktion:

$$A = \frac{5}{18}\cdot{\mathbf{y}}^{\rm T}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ -8 & 20 \end{array} \right]\cdot{\mathbf{y}} =\frac{5}{18}\left( 5 \cdot y_1^2 + 20 \cdot y_2^2 -16 \cdot y_1 \cdot y_2\right).$$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:

$$\gamma_1 = \frac{25}{18} \approx 1.389; \hspace{0.3cm} \gamma_2 = \frac{100}{18} \approx 5.556; \hspace{0.3cm} \gamma_{12} = - \frac{80}{18} \approx -4.444.$$

Entsprechend der herkömmlichen Vorgehensweise ergeben sich die gleichen Zahlenwerte:

$$\gamma_1 =\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot \sigma_1^2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= \frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot 1 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 1.389},$$

$$\gamma_2 =\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot\sigma_2^2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= \frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot 0.25 \cdot 0.36} = 4 \cdot \gamma_1 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.556},$$

$$\gamma_{12} =-\frac{\rho}{ \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= -\frac{\rm 0.8}{\rm 1 \cdot 0.5 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx -4.444}.$$