Exercise 2.13: Quadrature Amplitude Modulation

Die durch die Grafik erklärte Quadratur–Amplitudenmodulation erlaubt unter gewissen Randbedingungen, die in dieser Aufgabe angegeben werden sollen, die gleichzeitige Übertragung von zwei Quellensignalen $q_1(t)$ und $q_2(t)$ über den gleichen Kanal. In dieser Aufgabe gelte mit $A_1 = A_2 = 2 V$: $$q_1(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm 1} \cdot t),$$ $$q_2(t) = A_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_{\rm 2} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ Die vier in der Grafik eingezeichneten Trägersignale lauten mit $ω_T = 2π · 25 kHz$: $$z_1(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t),$$ $$ z_2(t) = \sin(\omega_{\rm T} \cdot t),$$ $$ z_{1,{\rm E}}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}),$$ $$ z_{2,{\rm E}}(t) = 2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$ Die beiden Tiefpässe mit den Eingangssignalen $b_1(t)$ und $b_2(t)$ entfernen jeweils alle Frequenzanteile $|f| > f_T$.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 2.5 dieses Buches. Anzumerken ist, dass hier die Trägersignale $z_2(t)$ und $z_{2,E}(t)$ mit positivem Vorzeichen angesetzt wurden. Oft – so auch im Theorieteil – werden diese Trägersignale als „Minus–Sinus” angegeben.

Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen: $$\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \right],$$ $$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \right],$$ $$\sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \right] \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1.Mit den angegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man: $$s(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + A_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) =$$ $$ = \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 1})\cdot t) +$$ $$ + \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 2})\cdot t) - \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 2})\cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ Richtig ist demnach der zweite Lösungsvorschlag.

2.Mit $A_1 = A_2 = 2 V$ und $f_1 = f_2 = 5 kHz$ überlagern sich zwei dieser Cosinusschwingungen konstruktiv und zwei weitere heben sich vollständig auf. Es ergibt sich somit das folgende einfache Ergebnis: $$ s(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t = 50\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$ 3. Richtig ist der erste Lösungsvorschlag. Bei phasensynchroner Demodulation ($Δϕ_T = 0$) erhält man für die Signale vor den beiden Tiefpässen mit $r(t) = s(t)$ entsprechend Teilaufgabe b): $$b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 45} \cdot t),$$ $$ b_2(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 45} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ Nach Eliminierung der jeweiligen 45 kHz–Anteile ergibt sich somit $υ_1(t) = q_1(t)$ und $υ_2(t) = q_2(t)$.

4.Analog zur Teilaufgabe c) gilt nun: $$ b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})=$$ $$ = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )},$$ $$b_2(t)= 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})=$$ $$ = 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )}\hspace{0.05cm}.$$ Die Sinkensignale $υ_1(t)$ und $υ_2(t)$ weisen bei dieser Konstellation gegenüber $q_1(t)$ und $q_2(t)$ Laufzeiten und damit Phasenverzerrungen auf. Diese gehören zur Klasse der linearen Verzerrungen.

5.Allgemein gilt für das Empfangssignal: $$r(t) = s(t) = q_1(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q_2(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$ Die Multiplikation mit den empfängerseitigen Trägersignalen $z_{1,E}(t)$ und $z_{2,E}(t)$ und die abschließende Bandbegrenzung führt zu den Sinkensignalen $$v_1(t) = \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) - \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t),$$ $$ v_2(t) = \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) + \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t) \hspace{0.05cm}.$$ Daraus ist zu ersehen: Bei einem Phasenversatz von $Δ_ϕT = 30°$ beinhaltet das Sinkensignal $υ_1(t)$ nicht nur das um $cos(30°) = 0.866$ gedämpfte Signal $q_1(t)$, sondern auch die in $q_2(t)$ enthaltene Frequenz $f_2$ (diese ist mit dem Faktor $sin(30°) = 0.5$ gewichtet). Es liegen somit nichtlineare Verzerrungen vor.

	$s(t)$ besteht aus zwei Cosinus– und zwei Sinusschwingungen.
	$s(t)$ setzt sich aus vier Cosinusschwingungen zusammen.
	$s(t)$ setzt sich aus vier Sinusschwingungen zusammen.

	Es gilt $υ_1(t) = q_1(t)$ und $υ_2(t) = q_2(t)$.
	Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
	Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.