Exercise 4.8Z: BPSK Error Probability

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Wir gehen von dem optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit

• bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_ν$ ∈ {–1, +1},
• rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten $±s_0$ und der Bitdauer $T_B$,
• AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,
• Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
• Entscheider mit optimalem Schwellenwert E = 0.

Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen: $$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$ Die Fehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems ist $$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$ Hierbei bezeichnet $σ_d$ den Rauscheffektivwert am

Entscheider und $Q(x)$ die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, die hier tabellarisch gegeben ist. Diese Fehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$ geschrieben werden, wobei $E_B$ die „Signalenergie pro Bit” angibt. Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit Binary Phase Shift Keying (BPSK) lautet: $$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{T_{\rm B}}}.$$ Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.2.

Fragebogen

1

Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit des Basisbandsystems?

$s_0 = 4V: p_{BB}$ = $10^{-4}$

2

Wie groß ist die Energie pro Bit beim Basisbandsystem?

$s_0 = 4V: E_B$ = $10^{-8}$ $V^2 s$

3

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei halber Sendeamplitude?

$s_0 = 2V: p_{BB}$ = $10^{-1}$

4

Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten $E-B/N_0$ an. Welches Ergebnis stimmt?

	$p_{BPSK} = Q[(E_B/N_0)^{1/2}],$
	$p_{BPSK} = Q[(2E_B/N_0)^{1/2}],$
	$p_{BPSK} = Q[(4E_B/N_0)^{1/2}].$

5

Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich bei der BPSK für $E_B/N_0 = 8$ und $E_B/N_0 = 2$?

$E_B/N_0 = 8: p_{BPSK}$ = $10^{-4}$

$E_B/N_0 = 2: p_{BPSK}$ = $10^{-1}$

Musterlösung

Solution

1. Der Rauscheffektivwert ergibt sich hier zu $$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}$$ $$: \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$

2. Beim Basisbandsystem gilt: $$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$ Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit $$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$

3. Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2 V$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen: $$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 0.227 \cdot 10^{-1},$$ $$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.227 \cdot 10^{-1}}.$$

4. Unter Berücksichtigung der Energie $E_B = s_0^2 · T_B/2$ erhält man mit $$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right )$$ das gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandübertragungssystem. Richtig ist somit Antwort 2.

5. Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung: $$\frac{ E_{\rm B}}{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$ $$ \frac{ E_{\rm B}}{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.227 \cdot 10^{-1}}.$$