Exercise 5.2: Band Spreading and Narrowband Interferer

Betrachtetes Modell der Bandspreizung

Betrachtet wird ein Spread Spectrum System gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:

Das Digitalsignal $q(t)$ besitze das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite $B = 1/T = 100\ \rm kHz$ angenähert werden soll:

$${\it \Phi}_{q}(f) = \left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} |f| <B/2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$

Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite (nur die Anteile bei positiven Frequenzen) gleich $B/2$ und die Bandbreite im Bandpassbereich ist $B$.
Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz $c(t)$ der Chipdauer $T_c = T/100$ („PN” steht dabei für „Pseudo Noise”). Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:

$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - |\tau|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$

Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge $c(t)$ phasensynchron zugesetzt.
Das Interferenzsignal $i(t)$ soll zunächst vernachlässigt werden. In der Teilaufgabe (4) bezeichnet $i(t)$ einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$ mit der Leistung $P_{\rm I}$.
Der Einfluss des (stets vorhandenen) AWGN–Rauschens $n(t)$ wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel PN–Modulation.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

$B_c \ = \ $

$\ \rm MHz$

	$B_s$ ist exakt gleich $B_c$.
	$B_s$ ist näherungsweise gleich $B_c + B$.
	$B_b$ ist exakt gleich $B_s$.
	$B_b$ ist gleich $B_s + B_c = 2B_c + B$.
	$B_b$ ist exakt gleich B.

	Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.
	Die Störleistung ist nur mehr halb so groß.
	Die Störleistung wird durch die Bandspreizung nicht verändert.

Musterlösung

Solution

1. Das Leistungsdichtesprektrum $Φ_c(f)$ ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechteckfunktionen der Breite $T_c$ wie folgt dargestellt werden kann: $${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \left(\frac{\tau}{T_c} \right ) \star {\rm rect} \left(\frac{\tau}{T_c} \right ) \hspace{0.05cm}.$$ Daraus folgt: $${\it \Phi}_{c}(f) = \frac{1}{T_c} \cdot \left[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \right ] \cdot \left[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \right ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$$ mit dem Maximalwert $${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} \hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-7}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

2. Gemäß der vorgegebenen Definition gilt mit $T_c = T/100 = 0.1 μs$: $$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$ Die nachfolgende Grafik verdeutlicht, dass $B_c$ durch die erste Nullstelle der $si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird, aber auch gleichzeitig die äquivalente (flächengleiche) Bandbreite im Bandpassbereich angibt.

3. Das LDS $Φ_s(f)$ ergibt sich aus der Faltung von $Φ_q(f)$ und $Φ_c(f)$. Damit ergibt sich für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich $B_s = B_c + B$. Da das Spreizsignal $c(t)$ ∈ {+1, –1} mit sich selbst multipliziert immer den Wert 1 ergibt, ist natürlich $b(t) ≡ q(t)$ und demzufolge $B_b = B$. Offensichtlich ist, dass die Bandbreite $B_b$ des bandgestauchten Signals ungleich $2B_c + B$ ist, obwohl die Faltung $Φ_s(f) ∗ Φ_c(f)$ dies suggeriert. Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen (Amplitudenspektren) $S(f)$ und $C(f)$ unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist. Erst danach kann aus $B(f)$ das LDS $Φ_b(f)$ bestimmt werden. Es gilt offensichtlich auch: $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 5.

4. Die Lösung soll anhand einer Skizze verdeutlicht werden. Im oberen Diagramm ist das LDS $Φ_i(f)$ des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei $±f_T$ mit Gewichten $P_I/2$ angenähert. Eingezeichnet ist auch die Bandbreite $B = 0.1 MHz$ (nicht ganz maßstäblich).

Die empfängerseitige Multiplikation mit $c(t)$ – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals i(t) eine Bandspreizung. Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$. Daraus folgt: $${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) =$$ $$ = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$ Anzumerken ist, dass $n(t)$ hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht wie sonst AWGN–Rauschen bezeichnet. In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz $f_T = 30 MHz$ ist das LDS $Φ_n(f)$ nahezu konstant. Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung: $$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$ Das bedeutet: Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor $J = T/T_c$ herabgesetzt, weshalb J häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird. Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.

Richtig ist somit der erste Lösungsvorschlag.