Exercise 5.8Z: Cyclic Prefix and Guard Interval

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Zyklisches Präfix,
Guard-Intervall und Ausgangssysmbol

Wir gehen in dieser Aufgabe von einem OFDM–System mit $N = 8$ Trägern und zyklischem Präfix aus. Der Subträgerabstand sei $f_0 = 4 \ \rm kHz$. Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.

• Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind. Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit $τ_1 = \ \rm 50 μs$ und $τ_2 = 125\ \rm μs$:

$$h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$

• Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz (Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite) um den Faktor

$$\beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}$$

und führt auch zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert β.

• Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR–Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten $g_{\rm S}(t)$ und $g_{\rm E}(t)$ von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer $T$ angepasst sind (Matched–Filter–Ansatz).

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Realisierung von OFDM-Systemen.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Zyklisches Präfix sowie OFDM-System mit zyklischem Präfix.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Geben Sie die Kernsymboldauer $T$ an.

$T \ = \ $ $\ \rm μs$

2

Wie lang sollte das Guard–Intervall $T_{\rm G}$ mindestens sein?

$T_{\rm G}\ = \ $ $\ \rm μs$

3

Bestimmen Sie die resultierende Rahmendauer $T_{\rm R}$.

$T_{\rm R}\ = \ $ $\ \rm μs$

4

Welche Aussagen sind richtig? Durch eine Guardlücke, also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können

	Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt werden,
	Impulsinterferenzen (ISI) unterdrückt werden.

5

Welche Aussagen sind richtig? Durch ein zyklisches Präfix, also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können

	Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt werden,
	Impulsinterferenzen (ISI) unterdrückt werden.

6

Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol $(N)$, das Guard–Intervall $(N_{\rm G})$ und den gesamten Rahmen $(N_{\rm R})$.

$N \ = \ $

$N_{\rm G} \ = \ $

$N_{\rm R} \ = \ $

7

Geben Sie unter der Vorraussetzung, dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten $-1$ verwendet wird, die Abtastwerte des Guard–Intervalls vor der Übertragung über den Kanal an.

$\text{Re}[d_{-1}] \ = \ $

$\text{Im}[d_{-1}] \ = \ $

$\text{Re}[d_{-2}] \ = \ $

$\text{Im}[d_{-2}] \ = \ $

$\text{Re}[d_{-3}] \ = \ $

$\text{Im}[d_{-3}] \ = \ $

$\text{Re}[d_{-4}] \ = \ $

$\text{Im}[d_{-4}] \ = \ $

8

Welche Bandbreiteneffizienz $\beta$ ergibt sich inklusive des Guard–Intervalls?

$\beta\ = \ $

9

Wie groß ist der damit verbundene SNR–Verlust $10 · \lg \ Δ_ρ$ (in dB) unter der Voraussetzung des Matched–Filter–Ansatzes?

$10 · \lg \ Δ_ρ \ = \ $ $\ \rm dB$

Musterlösung

Solution

1. Die Kernsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands: $$T = \frac{1}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm \mu s}}.$$

2. Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Verzögerung (hier: $τ_2 = 125 μs$) des Kanals ⇒ $T_G = 125 μs$.

3. Für die Rahmendauer gilt somit: $$T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}}\hspace{0.15cm}\underline {= 375\,\,{\rm \mu s}}.$$

4. Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen (ISI) vermieden werden. Die Lückendauer $T_G$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird. Im vorliegenden Beispiel muss $T_G ≥ 125 μs$ sein. Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.

5. Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt. Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Kernsymboldauer T eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt, auch wenn andere Träger aktiv sind. Das heißt: Beide Lösungsvorschläge sind zutreffend.

6. Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Kernsymbols ist gleich der Anzahl N = 8 der Träger. Wegen $T_G = T/2$ gilt $N_G = 4$ und damit $N_{gesamt} = 12$.

7. Die Belegung des ersten Trägers (Frequenz $f_0$) mit dem Koeffizienten –1 führt zu den Abtastwerten

d₀ = –1, d₁ = –0.707 – j · 0.707, d₂ = –j, d₃ = + 0.707 – j · 0.707,

d₄ = + 1, d₅ = +0.707 + j · 0.707, d₆ = j, d₇ = –0.707 + j · 0.707.

Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte d_–1 = d₇, d_–2 = d₆, d_–3 = d₅ und d_–4 = d₄:

$$\underline{{\rm Re}\{d_{-1}\} = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}\{d_{-1}\} = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{d_{-2}\} = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-2}\} = 1},$$ $$\underline{{\rm Re}\{d_{-3}\} = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}\{d_{-3}\} = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{d_{-4}\} = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}\} = 0}.$$

8. Entsprechend der angegebenen Gleichung ist die Bandbreiteneffizienz gleich $$\beta = \frac{1}{1 + {T_{\rm{G}}}/{T}} = \frac{1}{1 + ({125\,\,{\rm \mu s}})/({250\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.667}.$$ 9. Die Bandbreiteneffizienz β = 2/3 führt zu einem SNR–Verlust von $$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$