Contents
- 1 Prinzip und Blockschaltbild
- 2 Ideale Entscheidungsrückkopplung
- 3 Augenöffnung und Fehlerwahrscheinlichkeit bei DFE
- 4 Optimierung eines Übertragungssystems mit DFE
- 5 Realisierungsaspekte der Entscheidungsrückkopplung (1)
- 6 Realisierungsaspekte der Entscheidungsrückkopplung (2)
- 7 Aufgaben
- 8 Quellenverzeichnis
Prinzip und Blockschaltbild
Eine Möglichkeit zur Verminderung von Impulsinterferenzen bietet die Entscheidungsrückkopplung (engl.: Decision Feedback Equalization – abgekürzt DFE). In der deutschsprachigen Literatur wird diese manchmal auch als Quantisierte Rückkopplung (QR) bezeichnet.
Die Grafik zeigt den entsprechenden Empfänger. Man erkennt anhand des Blockschaltbildes:
- Ohne die rot eingezeichnete Signalrückführung ergäbe sich ein herkömmlicher Digitalempfänger mit Schwellenwertentscheider entsprechend dem Kapitel Idealer Kanalentzerrer.
- Für die folgende Beschreibung wird wieder angenommen, dass sich das gesamte Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ aus dem (fiktiven) idealen Kanalentzerrer $1/H_{\rm K}(f)$ und einem Gaußtiefpass $H_{\rm G}(f)$ zur Rauschleistungsbegrenzung zusammensetzt.
- Beim Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung wird vom rechteckförmigen Ausgangssignal $v(t)$ über ein lineares Netzwerk mit dem Frequenzgang $H_{\rm DFE}(f)$ ein Kompensationssignal $w(t)$ gewonnen und an den Eingang des Schwellenwertentscheiders zurückgeführt.
- Dieses Signal $w(t)$ wird vom vorentzerrten Signal $d(t)$ subtrahiert. Bei geeigneter Dimensionierung des Rückkopplungsnetzwerkes weist somit das korrigierte Signal $k(t) = d(t) - w(t)$ keine (oder zumindest deutlich geringere) Impulsnachläufer auf als das Signal $d(t)$. Die Impulsvorläufer können dagegen aus Kausalitätsgründen nicht beeinflusst werden.
- Da bei diesem Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung das Kompensationssignal $w(t)$ vom rauschfreien Sinkensignal $v(t)$ abgeleitet wird, ist die Signalentzerrung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden wie bei linearer Entzerrung. Vielmehr besitzt das korrigierte Signal $k(t)$ den gleichen Rauscheffektivwert $\sigma_d$ wie das Signal $d(t)$.
Hinweise:
Die Signalverläufe dieses nichtlinearen Entzerrungsverfahrens „DFE” sowie die zugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeiten – gültig für einen verzerrungsfreien Kanal – können mit dem Interaktionsmodul Entscheidungsrückkopplung angezeigt werden.
Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im
- Versuch 3: Impulsinterferenzen und Entzerrung, Programm „bas”
des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”. [Söd01][1]Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
- dem Lehrsoftwarepaket LNTsim ⇒ Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
- dieser Praktikumsanleitung ⇒ Link verweist auf die PDF-Version (76 Seiten).
Ideale Entscheidungsrückkopplung
Wir behandeln zunächst die ideale DFE–Realisierung anhand der Grundimpulse.
$\text{Definition:}$ Eine ideale Entscheidungsrückkopplung liegt vor, wenn am Entscheider der folgende Grundimpuls anliegt:
- $$g_k(t) = \left\{ \begin{array}{c} g_d(t) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} t < T_{\rm D} + T_{\rm V}, \\ t \ge T_{\rm D} + T_{\rm V}. \\ \end{array}$$
Das bedeutet, dass im Idealfall der Kompensationsgrundimpuls $g_w(t)$ den linear vorentzerrten Impuls $g_d(t)$ für alle Zeiten $t > T_{\rm D} + T_{\rm V}$ exakt nachbilden muss. Die aus Realisiserungsgründen erforderliche Verzögerungszeit $T_{\rm V}$ muss stets kleiner als die Symboldauer $T$ sein; im Folgenden gelte stets $T_{\rm V} = T/2$.
$\text{Beispiel 1:}$ Der Gesamtfrequenzgang $H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$ sei gaußförmig mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 0.3/T$. Bei NRZ–Rechteckimpulsen ergibt sich dann der pinkfarben skizzierte Detektionsgrundimpuls $g_d(t)$.
Links dargestellt sind auch die Grundimpulse $g_w(t)$ und $g_k(t)$ bei idealer Entscheidungsrückkopplung, wobei der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ und die Verzögerungszeit $T_{\rm V} = T/2$ zugrunde liegen.
Die rechten Bilder aus [Söd01][1] – alle ohne Berücksichtigung des Rauschens – machen deutlich, dass durch die Kompensation aller Impulsnachläufer mittels des Korrektursignals w(t) die Abstände der Nutzabstandswerte dS(νT) von der Entscheiderschwelle E = 0 verändert werden. Besonders geringe Abstände wie beispielsweise zu den Zeitpunkten t = 6T und t = 7T werden deutlich vergrößert und damit deren Fehlerwahrscheinlichkeiten stark verringert (Pfeile weggehend von der Schwelle).
Dagegen werden die im Signal d(t) weit vom Schwellenwert E = 0 entfernten Detektionsabtastwerte zur Schwelle hin verschoben und deren Verfälschungswahrscheinlichkeit leicht erhöht. Dies erkennt man zum Beispiel für den Zeitpunkt t = 5T.
Augenöffnung und Fehlerwahrscheinlichkeit bei DFE
Betrachten wir nun die Augendiagramme ohne DFE (linke Grafik) und mit idealer DFE (rechte Grafik).
Dabei wird von den gleichen Voraussetzungen wie auf der letzten Seite ausgegangen, so dass folgende Grundimpulswerte vorliegen:
\[g_0 = g_d(t=0) = 0.548 \cdot s_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_1 = g_d(t=T) = 0.214 \cdot s_0 = g_{-1} \hspace{0.05cm},\] \[ g_2 = g_d(t=2\hspace{0.05cm}T) = 0.012 \cdot s_0 = g_{-2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_3 = g_{-3} = ... \approx 0 \hspace{0.05cm}.\]
Diese beiden Augendiagramme können wie folgt interpretiert werden:
- Beim herkömmlichen Empfänger (ohne DFE) gilt bei binärer bipolarer redundanzfreier Codierung unter Berücksichtigung der Symmetrie:
- \[{\ddot{o}(T_{\rm D} = 0 )} = {2} \cdot \left [ g_0 - | g_{-1}| - | g_{-2}| - | g_{1}| - | g_{2}|\right ] =\]
- \[ = {2} \cdot \left [ g_0 - 2 \cdot g_{1} - 2 \cdot g_{2}\right ]= 0.192 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.\]
- Dagegen werden bei idealer DFE die beiden Nachläufer g1 und g2 vollständig kompensiert und man erhält für die vertikale Augenöffnung:
- \[{\ddot{o}(T_{\rm D} = 0 )} = {2} \cdot \left [ g_0 - g_{-1} - g_{-2}\right ]= 0.644 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.\]
- Da das Korrektursignal w(t) aus dem entschiedenen und damit rauschfreien Signal υ(t) abgeleitet wird, wird der Rauscheffektivwert durch die Entscheidungsrückkopplung nicht verändert. Der Störabstandsgewinn durch die DFE ist somit im betrachteten Beispiel gleich
- \[G_{\rm DFE}= 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{0.644}{0.192} \approx 10.5\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.\]
Bei einem Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung a∗ = 80 dB und 10 · lg EB/N0 = 80 dB bedeutet dieser Störabstandsgewinn beispielsweise, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit pU durch die DFE von 7% auf ca. 4 · 10–7 verkleinert wird – eine durchaus beachtenswerte Verbesserung.
Optimierung eines Übertragungssystems mit DFE
Die letzte Seite hat deutlich gemacht, dass die Entscheidungsrückkopplung bereits dann einen enormen Störabstandsgewinn bewirkt, wenn von einer festen Grenzfrequenz fG und dem Detektionszeitpunkt TD = 0 ausgegangen wird. Das System lässt sich aber weiter verbessern, wenn die beiden Parameter fG und TD gemeinsam optimiert werden.
Betrachten wir die Augendiagramme ohne Rauschen für fG · T = 0.3 (links) und fG · T = 0.2 (rechts). Für die nachfolgenden Berechnungen werden weiterhin die charakteristische Kabeldämpfung a∗ = 80 dB sowie der AWGN–Parameter 10 · lg EB/N0 = 80 dB (mit EB = s02 · T) vorausgesetzt, so dass sich der normierte Rauscheffektivwert zu σd/s0 = 0.065 (für fG · T = 0.3) bzw. σd/s0 = 0.010 (für fG · T = 0.2) ergibt. Die Optimierungsergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:
- Mit fG · T = 0.3 kann durch Verschiebung des Detektionszeitpunktes auf TD,opt = –0.3T die Augenöffnung auf ö(TD) = 0.779 · s0 vergrößert werden. Daraus resultiert gegenüber TD = 0 (vergleiche letze Seite) ein weiterer Störabstandsgewinn von 20 · lg (0.779/0.644) ≈ 1.65 dB und die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nun zu pU ≈ 1.3 · 10–9 (gegenüber 4 · 10–7).
- Bei einem DFE–Empfänger kann man zusätzlich die Grenzfrequenz weiter herabsetzen. So ergibt sich mit fG · T = 0.2 und TD = 0 die zwar kleine, aber immerhin von 0 verschiedene Augenöffnung ö(TD) = 0.152 · s0, die zusammen mit dem sehr günstigen Rauscheffektivwert σd/s0 = 0.010 zum (ungünstigsten) Störabstand 17.6 dB und zur Fehlerwahrscheinlichkeit pU = 1.6 · 10–14 führt.
- Durch Kombination der Grenzfrequenz fG · T = 0.2 mit dem Detektionszeitpunkt TD = –0.5T erhält man schließlich die bei den getroffenen Voraussetzungen optimale Systemkonfiguration mit der Augenöffnung ö(TD) = 0.368 · s0 und dem (ungünstigsten) Störabstand 10 · lg ρU = 25.3 dB. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist damit (praktisch) gleich 0.
Realisierungsaspekte der Entscheidungsrückkopplung (1)
Als ein wesentliches Ergebnis von Kapitel 3.5 und Kapitel 3.6 empfiehlt sich folgende Vorgehensweise: Für ein Übertragungssystem über Kupferleitungen (Koaxialkabel, Zweidrahtleitung) sind aufgrund des erreichbaren Signal–zu–Rauschabstandes am Entscheider folgende Systemvarianten besonders geeignet:
- ein Mehrstufensystem (z.B. M = 4) und die optimale Nyquistentzerrung zur Kompensation der starken Impulsinterferenzen, hervorgerufen durch die linearen Kanalverzerrungen.
- ein Binärsystem mit relativ kleiner Bandbreite des Gesamtfrequenzganges HG(f) = HK(f) · HE(f) und ein nichtlinearer Detektor mit Entscheidungsrückkopplung.
Beide Systemvarianten liefern bei idealisierten Bedingungen vergleichbar gute Resultate. Zu beachten ist allerdings, dass es bei beiden Systemen durch Realisierungsungenauigkeiten zu großen Degradationen kommen kann, die hier am Beispiel des DFE–Systems genannt werden:
- Da über das Fernsprechnetz kein Gleichsignal übertragen werden kann, für unsere Berechnungen aber HK(f = 0) = 1 angenommen wird, ist am Empfänger eine Gleichsignalwiedergewinnung erforderlich. Diese Aussage trifft in gleicher Weise für das quaternäre Nyquistsystem zu.
- Beim DFE–System muss der Kompensationsimpuls den vorentzerrten Grundimpuls gd(t) exakt nachbilden. Dies ist insbesondere dann schwierig, wenn gd(t) sehr breit ist (kleine Grenzfrequenz, zum Beispiel fG · T = 0.2) und die Optimierung den Detektionszeitpunkt TD, opt = –T/2 liefert.
- Kommt es aufgrund eines sehr großen Rauschwertes zu einer Fehlentscheidung, so werden auch die nachfolgenden Symbole mit großer Wahrscheinlichkeit verfälscht. Allerdings gibt es immer wieder Symbolfolgen, die diese Fehlerfortpflanzung unterbrechen.
Realisierungsaspekte der Entscheidungsrückkopplung (2)
Für eine schaltungstechnische Realisierung genügt es, wenn der korrigierte Grundimpuls gk(t) lediglich zu den äquidistanten Detektionszeitpunkten TD + ν · T zu Null wird. Eine Realisierungsmöglichkeit stellt somit ein Laufzeitfilter gemäß der nachfolgenden Grafik dar,
- dessen Ordnung N (Anzahl der Filterkoeffizienten), und
- dessen Filterkoeffizienten kν (mit ν = 1, ... , N)
durch den Grundimpuls gd(t) sowie den Detektionszeitpunkt TD festgelegt sind.
Diese DFE–Realisierung weist folgende Eigenschaften auf:
- Da das Ausgangssignal υ(t) rechteckförmig ist, ist der Kompensationsimpuls gw(t) treppenförmig.
- Bei richtiger Dimensionierung der Filterkoeffizienten kν gilt für ν = 1, ... , N:
- \[g_w(T_{\rm D} + \nu \cdot T) = g_d(T_{\rm D} + \nu \cdot T) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} g_k(T_{\rm D} + \nu \cdot T) = 0 \hspace{0.05cm}.\]
- Zum Detektionszeitpunkt TD ergibt sich die genau gleiche vertikale Augenöffnung wie bei idealer DFE. Nachteilig ist eine kleinere horizontale Augenöffnung.
Aufgaben
Zusatzaufgaben:3.8 Optimaler Detektionszeitpunkt
Quellenverzeichnis
