Decision Feedback

1. Digital Signal Transmission
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
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Prinzip und Blockschaltbild

Eine Möglichkeit zur Verminderung von Impulsinterferenzen bietet die Entscheidungsrückkopplung (engl.: Decision Feedback Equalization – abgekürzt DFE). In der deutschsprachigen Literatur wird diese manchmal auch als Quantisierte Rückkopplung (QR) bezeichnet.

Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung (DFE)

Die Grafik zeigt den entsprechenden Empfänger. Man erkennt anhand des Blockschaltbildes:

• Ohne die rot eingezeichnete Signalrückführung ergäbe sich ein herkömmlicher Digitalempfänger mit Schwellenwertentscheider entsprechend dem Kapitel Idealer Kanalentzerrer.
• Für die folgende Beschreibung wird wieder angenommen, dass sich das gesamte Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ aus dem (fiktiven) idealen Kanalentzerrer $1/H_{\rm K}(f)$ und einem Gaußtiefpass $H_{\rm G}(f)$ zur Rauschleistungsbegrenzung zusammensetzt.
  

• Beim Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung wird vom rechteckförmigen Ausgangssignal $v(t)$ über ein lineares Netzwerk mit dem Frequenzgang $H_{\rm DFE}(f)$ ein Kompensationssignal $w(t)$ gewonnen und an den Eingang des Schwellenwertentscheiders zurückgeführt.
  

• Dieses Signal $w(t)$ wird vom vorentzerrten Signal $d(t)$ subtrahiert. Bei geeigneter Dimensionierung des Rückkopplungsnetzwerkes weist somit das korrigierte Signal $k(t) = d(t) - w(t)$ keine (oder zumindest deutlich geringere) Impulsnachläufer auf als das Signal $d(t)$. Die Impulsvorläufer können dagegen aus Kausalitätsgründen nicht beeinflusst werden.
  

• Da bei diesem Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung das Kompensationssignal $w(t)$ vom rauschfreien Sinkensignal $v(t)$ abgeleitet wird, ist die Signalentzerrung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden wie bei linearer Entzerrung. Vielmehr besitzt das korrigierte Signal $k(t)$ den gleichen Rauscheffektivwert $\sigma_d$ wie das Signal $d(t)$.
  
  

Hinweise: Die Signalverläufe dieses nichtlinearen Entzerrungsverfahrens „DFE” sowie die zugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeiten – gültig für einen verzerrungsfreien Kanal – können mit dem Interaktionsmodul Entscheidungsrückkopplung angezeigt werden.

Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

• Versuch 3: Impulsinterferenzen und Entzerrung,     Programm „qrk”

des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”. [Söd01]Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

• dem Lehrsoftwarepaket LNTsim  ⇒  Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
• dieser Praktikumsanleitung  ⇒  Link verweist auf die PDF-Version (82 Seiten).

Ideale Entscheidungsrückkopplung

Wir behandeln zunächst die ideale DFE–Realisierung anhand der Grundimpulse.

$\text{Definition:}$  Eine ideale Entscheidungsrückkopplung liegt vor, wenn am Entscheider der folgende Grundimpuls anliegt:

$$g_k(t) = \left\{ \begin{array}{c} g_d(t) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} t < T_{\rm D} + T_{\rm V}, \\ t \ge T_{\rm D} + T_{\rm V}. \\ \end{array}$$

Das bedeutet, dass im Idealfall der Kompensationsgrundimpuls $g_w(t)$ den linear vorentzerrten Impuls $g_d(t)$ für alle Zeiten $t > T_{\rm D} + T_{\rm V}$ exakt nachbilden muss. Die aus Realisiserungsgründen erforderliche Verzögerungszeit $T_{\rm V}$ muss stets kleiner als die Symboldauer $T$ sein; im Folgenden gelte stets $T_{\rm V} = T/2$.

$\text{Beispiel 1:}$  Der Gesamtfrequenzgang $H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$ sei gaußförmig mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 0.3/T$. Bei NRZ–Rechteckimpulsen ergibt sich dann der pinkfarben skizzierte Detektionsgrundimpuls $g_d(t)$.

Links dargestellt sind auch die Grundimpulse $g_w(t)$ und $g_k(t)$ bei idealer Entscheidungsrückkopplung, wobei der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ und die Verzögerungszeit $T_{\rm V} = T/2$ zugrunde liegen.

Grundimpulse und Signale bei idealer DFE

Die rechten Bilder aus [Söd01] – alle ohne Berücksichtigung des Rauschens – machen deutlich, dass durch die Kompensation aller Impulsnachläufer mittels des Korrektursignals $w(t)$ die Abstände der Nutzabstandswerte $d_{\rm S}(\nu \cdot T)$ von der Entscheiderschwelle $E = 0$ verändert werden. Besonders geringe Abstände wie beispielsweise zu den Zeitpunkten $t = 6T$ und $t = 7T$ werden deutlich vergrößert und damit deren Fehlerwahrscheinlichkeiten stark verringert (Pfeile weggehend von der Schwelle).

Dagegen werden die im Signal $d(t)$ weit vom Schwellenwert $E = 0$ entfernten Detektionsabtastwerte zur Schwelle hin verschoben und deren Verfälschungswahrscheinlichkeit somit leicht erhöht. Dies erkennt man zum Beispiel für den Zeitpunkt $t = 5T$.

Augenöffnung und Fehlerwahrscheinlichkeit bei DFE

Betrachten wir nun die Augendiagramme ohne DFE (linke Grafik) und mit idealer DFE (rechte Grafik). Dabei wird von den gleichen Voraussetzungen wie auf der letzten Seite ausgegangen, so dass folgende Grundimpulswerte vorliegen:

$$g_0 = g_d(t=0) = 0.548 \cdot s_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_1 = g_d(t=T) = 0.214 \cdot s_0 = g_{-1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = g_d(t=2\hspace{0.05cm}T) = 0.012 \cdot s_0 = g_{-2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_3 = g_{-3} = \text{...} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Augendiagramme ohne und mit Decision Feedback Equalization (f_G · T = 0.3)

Diese beiden Augendiagramme können wie folgt interpretiert werden:

• Beim herkömmlichen Empfänger (ohne DFE) gilt bei binärer bipolarer redundanzfreier Codierung unter Berücksichtigung der Symmetrie:

$${\ddot{o}(T_{\rm D} = 0 )} = {2} \cdot \big [ g_0 - | g_{-1}| - | g_{-2}| - | g_{1}| - | g_{2}|\big ] = {2} \cdot \big [ g_0 - 2 \cdot g_{1} - 2 \cdot g_{2}\big ]= 0.192 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen werden bei idealer DFE die beiden Nachläufer $g_1$ und $g_2$ vollständig kompensiert und man erhält für die vertikale Augenöffnung:

$${\ddot{o}(T_{\rm D} = 0 )} = {2} \cdot \big [ g_0 - | g_{-1}| - |g_{-2}|\big ] = {2} \cdot \big [ g_0 - g_{1} - g_{2}\big ]= 0.644 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.$$

• Da das Korrektursignal $w(t)$ aus dem entschiedenen und damit rauschfreien Signal $v(t)$ abgeleitet wird, wird der Rauscheffektivwert $\sigma_d$ durch die Entscheidungsrückkopplung nicht verändert. Der Störabstandsgewinn durch die DFE ist somit im betrachteten Beispiel gleich

$$G_{\rm DFE}= 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{0.644}{0.192} \approx 10.5\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$  Bei einem Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung $a_\star = 80 \ \rm dB$ und $10 \cdot \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 80 \ \rm dB$ bedeutet dieser Störabstandsgewinn beispielsweise, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ durch die DFE von $7\%$ auf ca. $4 \cdot 10^{-7}$ verkleinert wird – eine durchaus beachtenswerte Verbesserung.

Optimierung eines Übertragungssystems mit DFE

Die letzte Seite hat bereits deutlich gemacht, dass die Entscheidungsrückkopplung bereits dann einen enormen Störabstandsgewinn bewirkt, wenn

• von einer festen Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ und
• dem festen Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$

ausgegangen wird. Das System lässt sich aber weiter verbessern, wenn die beiden Parameter $f_{\rm G}$ und $T_{\rm D}$ gemeinsam optimiert werden.

Die Grafik zeigt die Augendiagramme ohne Rauschen für $f_{\rm G} \cdot T = 0.3$ (links) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.2$ (rechts). Das linke Augendiagramm ist weitgehend – bis auf den Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$ – identisch mit dem rechten Augendiagramm auf der letzten Seite.

Augendiagramme mit DFE und optimiertem Detektionszeitpunkt

Für die nachfolgenden Berechnungen werden weiterhin die charakteristische Kabeldämpfung $a_\star = 80 \ \rm dB$ sowie der AWGN–Parameter $10 \cdot \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 80 \ \rm dB$ (mit $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$) vorausgesetzt. Die Optimierungsergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:

• Mit $f_{\rm G} \cdot T = 0.3$ kann durch Verschiebung des Detektionszeitpunktes auf $T_\text{D, opt} = -0.3T$ die Augenöffnung auf $\ddot{o}(T_\text{D, opt}) = 0.779 \cdot s_0 $ vergrößert werden.
• Daraus resultiert gegenüber $T_{\rm D} = 0$ (vergleiche letze Seite) ein weiterer Störabstandsgewinn von $G_{T_\text{D, opt}}= 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{0.779}/{644} \approx 1.65\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$ Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nun zu $p_{\rm U} \approx 1.3 \cdot 10^{-9}$ (gegenüber $4 \cdot 10^{-7}$).
  

Bei einem DFE–Empfänger kann man zusätzlich die Grenzfrequenz weiter herabsetzen, wenn man vom Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ abweicht. Der Grund ist das bessere Rauschverhalten bei kleinerer Grenzfrequenz. Der normierte Rauscheffektivwert ergibt sich statt zu $\sigma_d/s_0 = 0.065$ (für $f_{\rm G} \cdot T = 0.3$) nun zu $\sigma_d/s_0 = 0.010$ (für $f_{\rm G} \cdot T = 0.2$).

• So ergibt sich mit $f_{\rm G} \cdot T = 0.2$ und $T_{\rm D} = 0$ die zwar kleine, aber immerhin von 0 verschiedene Augenöffnung $\ddot{o}_{\rm norm}) = 0.152$, die zusammen mit dem sehr günstigen Rauscheffektivwert zum (ungünstigsten) Störabstand $17.6 \ \rm dB$ und zur (ungünstigsten) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} \approx 1.6 \cdot 10^{-14}$ führt.
• Durch Kombination der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.2$ mit dem Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = -T/2$ erhält man schließlich die bei den getroffenen Voraussetzungen optimale Systemkonfiguration mit der normierten Augenöffnung $\ddot{o}_{\rm norm}) = 0.368$und dem (ungünstigsten) Störabstand $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm U} = 25.3 \ \rm dB$. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist damit (praktisch) gleich Null.
  

Realisierungsaspekte der Entscheidungsrückkopplung (1)

Als ein wesentliches Ergebnis von Kapitel 3.5 und Kapitel 3.6 empfiehlt sich folgende Vorgehensweise: Für ein Übertragungssystem über Kupferleitungen (Koaxialkabel, Zweidrahtleitung) sind aufgrund des erreichbaren Signal–zu–Rauschabstandes am Entscheider folgende Systemvarianten besonders geeignet:

• ein Mehrstufensystem (z.B. M = 4) und die optimale Nyquistentzerrung zur Kompensation der starken Impulsinterferenzen, hervorgerufen durch die linearen Kanalverzerrungen.
  

• ein Binärsystem mit relativ kleiner Bandbreite des Gesamtfrequenzganges H_G(f) = H_K(f) · H_E(f) und ein nichtlinearer Detektor mit Entscheidungsrückkopplung.
  
  

Beide Systemvarianten liefern bei idealisierten Bedingungen vergleichbar gute Resultate. Zu beachten ist allerdings, dass es bei beiden Systemen durch Realisierungsungenauigkeiten zu großen Degradationen kommen kann, die hier am Beispiel des DFE–Systems genannt werden:

• Da über das Fernsprechnetz kein Gleichsignal übertragen werden kann, für unsere Berechnungen aber H_K(f = 0) = 1 angenommen wird, ist am Empfänger eine Gleichsignalwiedergewinnung erforderlich. Diese Aussage trifft in gleicher Weise für das quaternäre Nyquistsystem zu.
  

• Beim DFE–System muss der Kompensationsimpuls den vorentzerrten Grundimpuls g_d(t) exakt nachbilden. Dies ist insbesondere dann schwierig, wenn g_d(t) sehr breit ist (kleine Grenzfrequenz, zum Beispiel f_G · T = 0.2) und die Optimierung den Detektionszeitpunkt T_D, opt = –T/2 liefert.
  

• Kommt es aufgrund eines sehr großen Rauschwertes zu einer Fehlentscheidung, so werden auch die nachfolgenden Symbole mit großer Wahrscheinlichkeit verfälscht. Allerdings gibt es immer wieder Symbolfolgen, die diese Fehlerfortpflanzung unterbrechen.
  
  

: Die Grafik zeigt den Grundimpuls g_d(t) für die Grenzfrequenz f_G · T = 0.2 (rote Kurve) und den Kompensationsimpuls g_w(t) für T_D = – T/2 (blau gefüllt). Hierbei ist wieder eine Verzögerungszeit T_V = T/2 zwischen Entscheidung und Beginn der Signalkorrektur berücksichtigt.

Man erkennt, dass bereits für T_D = –T/2 der erste Nachläufer g_d(T_D + T) = g_d(T/2) genau so groß ist wie der Hauptwert g_d(T_D) = g_d(–T/2). Gelingt es nicht, tatsächlich alle Nachläufer zu kompensieren, so ergibt sich schnell ein geschlossenes Auge und damit die Fehlerwahrscheinlichkeit p_U = 50%.

Realisierungsaspekte der Entscheidungsrückkopplung (2)

Für eine schaltungstechnische Realisierung genügt es, wenn der korrigierte Grundimpuls g_k(t) lediglich zu den äquidistanten Detektionszeitpunkten T_D + ν · T zu Null wird. Eine Realisierungsmöglichkeit stellt somit ein Laufzeitfilter gemäß der nachfolgenden Grafik dar,

• dessen Ordnung N (Anzahl der Filterkoeffizienten), und
  

• dessen Filterkoeffizienten k_ν (mit ν = 1, ... , N)
  
  

durch den Grundimpuls g_d(t) sowie den Detektionszeitpunkt T_D festgelegt sind.

Diese DFE–Realisierung weist folgende Eigenschaften auf:

• Da das Ausgangssignal υ(t) rechteckförmig ist, ist der Kompensationsimpuls g_w(t) treppenförmig.
  

• Bei richtiger Dimensionierung der Filterkoeffizienten k_ν gilt für ν = 1, ... , N:

\[g_w(T_{\rm D} + \nu \cdot T) = g_d(T_{\rm D} + \nu \cdot T) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} g_k(T_{\rm D} + \nu \cdot T) = 0 \hspace{0.05cm}.\]

• Zum Detektionszeitpunkt T_D ergibt sich die genau gleiche vertikale Augenöffnung wie bei idealer DFE. Nachteilig ist eine kleinere horizontale Augenöffnung.
  
  

: Die Grafik zeigt die Grundimpulse g_d(t) und g_k(t) bei der Entscheidungsrückkopplung mit einem Laufzeitfilter zweiter Ordnung. Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im Beispiel auf der letzten Seite: f_G · T = 0.2, T_D = –T/2, T_V = T/2.

Wegen der Ordnung N = 2 werden hier allerdings nur die beiden ersten Nachläufer g_d(0.5T) und g_d(1.5T) kompensiert. Der dritte Nachläufer g_d(2.5T) könnte durch einen weiteren Filterkoeffizienten k₃ zu 0 gemacht werden. Dagegen können die Impulsvorläufer g_d(–1.5T) und g_d(–2.5T) prinzipiell nicht kompensiert werden.

Aufgaben

A3.8 DFE mit Laufzeitfilter

Zusatzaufgaben:3.8 Optimaler Detektionszeitpunkt