Periodendauer periodischer Signale
Contents
- 1 Aufrufmöglichkeit zweier Applets in neuem Fenster
- 2 Programmbeschreibung
- 3 Theoretischer Hintergrund
- 4 Vorschlag für die Versuchsdurchführung
- 5 Zur Handhabung der Applet-Variante 1
- 6 Zur Handhabung der Applet-Variante 2
- 7 Über die Autoren
- 8 Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster
Aufrufmöglichkeit zweier Applets in neuem Fenster
Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen
Programmbeschreibung
Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion
- $$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$
Bitte beachten Sie:
- Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert: $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
- Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t^*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t^*$.
- Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung. Die englische Beschreibung finden Sie unter Period Duration of Periodic Signals.
Theoretischer Hintergrund
- Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt: $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die Periodendauer und $f_0 = 1/T_0$ als die Grundfrequenz.
- Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.
$\text{Berechnungsvorschrift:}$ Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:
- $$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$
wobei „ggT” den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.
$\text{Beispiele:}$ Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:
(a) $f_1' = 1.0$, $f_2' = 3.0$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ ⇒ $T_0 = 1.0\ \rm ms$;
(b) $f_1' = 1.0$, $f_2' = 3.5$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$ ⇒ $T_0 = 2\ \rm ms$;
(c) $f_1' = 1.0$, $f_2' = 2.5$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$ ⇒ $T_0 = 2.0\ \rm ms$;
(d) $f_1' = 0.9$, $f_2' = 3.5$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 3.5) = 0.1$ ⇒ $T_0 = 10 \ \rm ms$;
(e) $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ ⇒ $T_0 \to \infty$ ⇒ Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.
$\text{Anmerkung:}$ Die Periodendauer könnte auch als kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:
(c) $T_1 = 1.0\ \rm ms$, $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ ⇒ $f_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$
Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen führen, zum Beispiel
(a) $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.
Vorschlag für die Versuchsdurchführung
$\text{(1)}$ Voreinstellung:
$x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$.
Zur Handhabung der Applet-Variante 1
Zur Handhabung der Applet-Variante 2
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2004 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder ).
- 2017 wurde dieses Programm von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet ⇒ Applet-Variante 1.
- Parallel dazu erarbeitete Bastian Siebenwirth im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Günter Söder) die HTML5-Variante 2.
Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster
Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
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