Exercise 3.1Z: Frequency Response of the Coaxial Cable

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Ein so genanntes Normalkoaxialkabel mit dem Kerndurchmesser 2.6 mm, dem Außendurchmesser 9.5 mm und der Länge $l$ besitzt den folgenden Frequenzgang

$$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot $$

$$\ \cdot \ {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in Neper (Np), die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in Radian (rad) einzusetzen. Es gelten folgende Zahlenwerte:

$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km\cdot{MHz}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km\cdot\sqrt{MHz}} \hspace{0.05cm},$$

Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems

• die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):

$$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| \hspace{0.05cm},$$

• die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad)

$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$

In der Praxis benutzt man häufig die Näherung

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot \frac{rad}{Np}\hspace{0.05cm}.$$

Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten – besitzen. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)

$$a_{\star \hspace{0.05cm}\rm (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\star \hspace{0.05cm}\rm (dB)}$$

lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R_B$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.1 dieses Buches sowie auf dasKapitel 4 des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme”.

Fragebogen

1

Welche Terme von $H_K(f)$ führen zu keinen Verzerrungen? Der

	$\alpha_0$–Term,
	$\alpha_1$–Term,
	$\alpha_2$–Term,
	$\beta_1$–Term,
	$\beta_2$–Term,

2

Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 1% gedämpft wird?

$l_{\rm max}$ = $km $

3

Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz $f = 70 \hspace{0.15cm}MHz$, wenn die Kabellänge $l = 2\hspace{0.15cm}km$ beträgt?

$l = 2 km: a_K(f = 70\hspace{0.15cm}MHz)$ = $Np $

4

Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Vorraussetzungen, wenn man nur den $\alpha_2$–Term berücksichtigt?

$nur \alpha_2: a_K(f = 70\hspace{0.15cm}MHz)$ = $Np $

5

Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen Np und dB? Welcher dB–Wert ergibt sich für die unter d) berechnete Dämpfung?

$nur \alpha_2: a_K(f = 70\hspace{0.15cm}MHz)$ = $dB $

6

Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend, dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den $\alpha_2$–Wert beschränkt?

	Man kann auch auf den Phasenterm $\beta_1$ verzichten
	Mann kann auch auf den Phasenterm $\beta_2$ verzichten
	$a_* ∗ 40\hspace{0.15cm}dB$ gilt für ein System mit $R_B = 70\hspace{0.15cm}Mbit/s$ und $l = 2 km$.
	$a_* ∗ 40\hspace{0.15cm}dB$ gilt für ein System mit $R_B = 140\hspace{0.15cm}Mbit/s$ und $l = 2 km$.
	$a_* ∗ 40\hspace{0.15cm}dB$ gilt für ein System mit $R_B = 560\hspace{0.15cm}Mbit/s$ und $l = 1 km$.

Musterlösung

Solution

(1) Der $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der $\beta_1$–Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 4

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(6)