Exercise 1.2Z: Bit Error Measurement

Simulierte Bitfehlerhäufigkeiten

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)$$

eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER)

$$h_{\rm B} = {n_{\rm B}}/{N}$$

simulativ ermittelt. Oftmals wird $h_{\rm B}$ auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.

In obigen Gleichungen bedeuten:

$E_{\rm B}$: die Energie pro Bit,
$N_0$: AWGN–Rauschleistungsdichte,
$n_{\rm B}$: Anzahl der aufgetretenen Bitfehler,
$N$: Anzahl der simulierten Bit einer Versuchsreihe.

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit $N = 6.4 \cdot 10^4 $, $N = 1. 28 \cdot 10^5$ und $N = 1.6 \cdot 10^6$. Die letzte mit $N \to \infty $ benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ an.

Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:

Die Bitfehlerhäufigkeit $h_{\rm B}$ ist in erster Näherung eine gaußverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert $m_h = p_{\rm B}$ und der Varianz $\sigma_h^2 \approx p_{\rm B}$.
Die relative Abweichung der Bitfehlerhäufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt

$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$

Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl der gemessenen Bitfehler $n_{\rm B} \ge 100$sein sollte.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	Die Genauigkeit der BER–Messung ist unabhängig von $N$.
	Je größer $N$ ist, desto genauer ist im Mittel die BER–Messung.
	Je größer $N$ ist, desto genauer ist jede einzelne BER–Messung.

$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -3 }\ $

$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -3 }\ $

$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $

$\ \% $

$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $

$\ \% $

$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -5 }\ $

$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -5 }\ $

$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $

$\ \% $

$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $

$\ \% $

$\text{Maximum} \ [10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0] \ = \ $

$\ \rm dB $

Musterlösung

Solution

(1) Natürlich wird die Genauigkeit der BER–Messung durch den Parameter N in starkem Maße beeinflusst. Es besteht jedoch kein deterministischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der simulierten Bit und der Genauigkeit der BER–Messung, wie z. B. die Ergebnisse für 10 · lg E_B/N₀ = 6 dB zeigen: Bei N = 64000 (h_B = 0.258 · 10^–2) ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert 0.239 · 10^–2 geringer als bei N = 128000 (h_B = 0.272 · 10^–2). Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag: Im statistischen Mittel wird die BER–Messung natürlich besser, wenn man N erhöht: Nur die Aussage 2 trifft zu.

(2) Bei 10 · lg E_B/N₀ = 0 dB, also E_B = N₀, erhält man folgende Werte: $$N=64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{1600000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 2.2 \cdot10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Hierfür ergeben sich mit 10 · lg E_B/N₀ = 0 dB folgende Werte: $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}} = \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$

(4) Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als unter (2): $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$ $$ N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 4.6 \cdot10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$ (5) Trotz der deutlich kleineren Streuung σ_h ergeben sich für 10 · lg E_B/N₀ = 9 dB aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit größere relative Abweichungen als für 10 · lg E_B/N₀ = 0 dB: $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$ (6) Die Anzahl n_B der gemessenen Bitfehler sollte mindestens 100 betragen. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen): $$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$ Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für 10 · lg E_B/N₀ = 8 dB noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind (n_B = 315), während für 10 · lg E_B/N₀ = 9 dB im Mittel nur mehr n_B = 52 Fehler zu erwarten sind. Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.