Exercise 1.4Z: Complex Nyquist Spectrum

Komplexes Nyquistspektrum

Betrachtet wird ein Impuls $g(t)$ mit dem Spektrum gemäß der Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:

Der Realteil von $G(f)$ verläuft trapezförmig mit den beiden Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \ \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$.

Im Bereich $|f| < f_{1}$ gilt $Re[G(f)]$ = $A = 10^{-4} \ \rm V/Hz$.

Der Imaginärteil von $G(f)$ wird für die Teilaufgaben (1) bis (5) stets zu $0$ angenommen. In diesem Fall ist $g(t)$ sicher ein Nyquistimpuls.
Ab der Teilaufgabe (6) hat der Imaginärteil $Im[G(f)]$ im Bereich $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$ einen Dreiecksverlauf mit den Werten $\pm B$ bei den Dreieckspitzen.

Zu überprüfen ist, ob der Impuls $g(t)$ auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:

$$g(\nu T) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\ \nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\ \end{array}$$

Im Verlauf dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:

Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:

$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }\hspace{0.05cm}.$$

Der Rolloff–Faktor ist ein Maß für die Flankensteilheit:

$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Eigenschaften von Nyquistsystemen Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte $g(t)$ eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff–Faktor $r$:

Ein dreieckförmiges Tiefpass–Spektrum $G(f)$, das auf $| f | < f_{0}$ begrenzt ist und für das $G(f = 0) = B$ gilt, führt nach der Fourierrücktransformation zu folgender Zeitfunktion:

$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$f_{\rm Nyq} \ = \ $

$\ \rm kHz$

$r \ = \ $

$g_{0} \ = \ $

$\ \rm V$

$B = 0: g(t = 100\ \mu \rm s) \ = \ $

$\ \rm V$

$B = 0: g(t = 200\ \mu \rm s) \ = \ $

$\ \rm V$

$B = 0: g(t = 250\ \mu \rm s) \ = \ $

$\ \rm V$

	Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen $3 \ \rm kHz$ und $7 \ \rm kHz$ liegt.
	Die Nyquistbedingung wird auch erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $3 \ \rm kHz$ und $5 \ \rm kHz$ liegt.
	Die Nyquistbedingung wird auch erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $4.5 \ \rm kHz$ und $5.5 \ \rm kHz$ liegt

$B = A = 10^{–4} \ \rm V/Hz: g(t = 250\ \mu \rm s) \ = \ $

$\ \rm V$

Musterlösung

Solution

(1) Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an. Es gilt:

$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }= \frac{3\, {\rm kHz} + 7\, {\rm kHz}} {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 5\, {\rm kHz}} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Der Rolloff–Faktor ist ebenfalls durch die beiden Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ festgelegt:

$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } = \frac{7\, {\rm kHz} - 3\, {\rm kHz}} {7\, {\rm kHz} + 3\, {\rm kHz} }\hspace{0.1cm}\underline { = 0.4 }\hspace{0.05cm}.$$

(3) Bei einem Impuls mit reellem Tiefpass–Spektrum liegt das Maximum stets bei $t = 0$ und es gilt:

$$g_0 = g(t=0) = \int_{-\infty}^{+\infty}G(f) \,{\rm d} f = A \cdot 2 f_{\rm Nyq} = 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 5 \cdot10^{3} \,{\rm Hz}\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand $T = 1/(2f_{\rm Nyq) = 100 \ \mu \rm s$ auf. Daraus erhält man direkt:

$$g(t= 100\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$

$$g(t= 200\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0} \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit $r = 0.4$:

$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Verantwortlich dafür, dass die erste Nyquistbedingung erfüllt wird, ist der erste Term.

(5) (6)