Exercise 1.4Z: Complex Nyquist Spectrum
Betrachtet wird ein Impuls $g(t)$ mit dem Spektrum gemäß der Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:
- Der Realteil von $G(f)$ verläuft trapezförmig mit den beiden Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \ \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$.
Im Bereich $|f| < f_{1}$ gilt $Re[G(f)]$ = $A = 10^{-4} \ \rm V/Hz$.
- Der Imaginärteil von $G(f)$ wird für die Teilaufgaben (1) bis (5) stets zu $0$ angenommen. In diesem Fall ist $g(t)$ sicher ein Nyquistimpuls.
- Ab der Teilaufgabe (6) hat der Imaginärteil $Im[G(f)]$ im Bereich $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$ einen Dreiecksverlauf mit den Werten $\pm B$ bei den Dreieckspitzen.
Zu überprüfen ist, ob der Impuls $g(t)$ auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
- $$g(\nu T) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\ \nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\ \end{array}$$
Im Verlauf dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:
- Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:
- $$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }\hspace{0.05cm}.$$
- Der Rolloff–Faktor ist ein Maß für die Flankensteilheit:
- $$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis:
Die Aufgabe bezieht sich auf das Eigenschaften von Nyquistsystemen Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte $g(t)$ eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff–Faktor $r$:
Ein dreieckförmiges Tiefpass–Spektrum $G(f)$, das auf $| f | < f_{0}$ begrenzt ist und für das $G(f = 0) = B$ gilt, führt nach der Fourierrücktransformation zu folgender Zeitfunktion:
- $$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }= \frac{3\, {\rm kHz} + 7\, {\rm kHz}} {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 5\, {\rm kHz}} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Der Rolloff–Faktor ist ebenfalls durch die beiden Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ festgelegt:
- $$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } = \frac{7\, {\rm kHz} - 3\, {\rm kHz}} {7\, {\rm kHz} + 3\, {\rm kHz} }\hspace{0.1cm}\underline { = 0.4 }\hspace{0.05cm}.$$
(3) Bei einem Impuls mit reellem Tiefpass–Spektrum liegt das Maximum stets bei $t = 0$ und es gilt:
- $$g_0 = g(t=0) = \int_{-\infty}^{+\infty}G(f) \,{\rm d} f = A \cdot 2 f_{\rm Nyq} = 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 5 \cdot10^{3} \,{\rm Hz}\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \ \rm \mu s$ auf. Daraus erhält man direkt:
- $$g(t= 100\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$
- $$g(t= 200\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0} \hspace{0.05cm}.$$
Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit $r = 0.4$:
- $$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
Verantwortlich dafür, dass die erste Nyquistbedingung erfüllt wird, ist der erste Term.
(5) Entsprechend der unter (4) angegebenen Gleichung gilt:
- $$g(t= 250\,{\rm \mu s})= g_0 \cdot {\rm si} ( {2.5 \cdot \pi })\cdot {\rm si} ( \pi )\hspace{0.1cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$
Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster $\nu T$
(6) Für die folgende Herleitung gelte:
- $$g(t)= g_{\rm R}(t) + g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$$
wobei $g_{\rm R}(t)$ auf den Realteil und $g_{\rm I}(t)$ auf den Imaginärteil von $G(f)$ zurückgeht. Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt (4) berechnet:
- $$g_{\rm R} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit $1/T = 10 \ \rm kHz$ gelten:
- $$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G \left ( f - {k}/{T} \right)\right]= 0 \hspace{0.05cm}.$$
Mit den gegebenen Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \ \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$ liegen die beiden Dreiecke um $\pm 5\ \rm kHz$, so dass obige Gleichung erfüllt ist. Gleiches gilt für $f_{1} = 4.5\ \rm kHz$ und $f_{2} = 5.5 \ \rm kHz$. Dagegen liegen die Dreieckspitzen mit $f_{1} = 3\ \rm kHz$ und $f_{2} = 5 \ \rm kHz$ bei $\pm 4 \ \rm kHz$. In diesem Fall löschen sich die Dreieckfunktionen durch die periodische Fortsetzung nicht aus und die Nyquistbedingung ist nicht erfüllt. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.
(7) Mit dem Ergebnis $g_{\rm R}(2.5t) = 0$ aus der Teilaufgabe (3) folgt $g(2.5T) = gI(2.5t)$, wobei $g_{\rm I}(t)$ die Fourierrücktransformierte von j $\cdot \ G_{\rm I}(f)$ ist. Es gilt:
- $${\rm j} \cdot G_{\rm I}(f) = {\rm j} \cdot\left[ \delta(f + f_{\rm Nyq}) - \delta(f - f_{\rm Nyq})\right] \star D(f)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_{\rm I}(t) = 2 \cdot {\rm sin} ( 2 \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t )\cdot d(t)\hspace{0.05cm}.$$
Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T = 100 \ \rm \mu s$. $D(f)$ ist eine Dreieckfunktion um $f = 0$ mit $D(f = 0) = B$ und der einseitigen Breite $f_{0}= f_{2} – f_{\rm Nyq} = f_{\rm Nyq} – f_{1} = 2 \ \rm kHz$. Für die dazugehörige Zeitfunktion kann somit entsprechend der Angabe geschrieben werden:
- $$g_{\rm I}(t ) = 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin} ( 2 \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t)\cdot {\rm si}^2(\pi\cdot f_{\rm 0} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
Insbesondere gilt für den Zeitpunkt $t = 250 \ \rm \mu s$. (grünes Quadrat):
- $$g(t = 2.5 T) = g_{\rm I}(t = 2.5 T) = \ 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin} ( 2.5 \pi )\cdot {\rm si}^2(\frac{\pi}{2}) = \ \frac{8}{\pi^2} \cdot 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 10^{3} \,{\rm Hz}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.162\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
Die nachfolgende Grafik zeigt die Veränderung der Zeitfunktion aufgrund des Imaginärteils (grüner Zeitverlauf). Es ergibt sich nun ein unsymmetrischer Funktionsverlauf $g(t)$, der blau dargestellt ist. Die Nulldurchgänge von $g_{\rm R}(t)$ im Abstand T bleiben jedoch erhalten.
