Exercise 1.6Z: Two Optimal Systems

Optimalsysteme im Zeit- und Frequenzbereich

Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme A und B, die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte $N_{0}$ das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$

Das System A verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude $s_{0} = 1 \ \rm V$ und der Dauer $T = 0.5\ \mu s$.
Dagegen besitzt das System B, das mit der gleichen Bitrate wie das System A arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:

$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} G_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} |f| < f_0 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Optimierung der Basisbandübertragungssysteme.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit $(E_{\rm B})$ die Einheit $\rm V^{2}/Hz$ aufweist.

Fragebogen

$R \ = \ $

$\ \rm Mbit/s$

$E_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-7} \ \rm V^{2}/Hz$

	Bei System A hat $H_{\rm E}(f)$ einen si–förmigen Verlauf.
	Bei System B ist $H_{\rm E}(f)$ ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass.
	$H_{\rm E}(f)$ lässt sich bei System B durch einen Integrator realisieren.

$f_{0} \ = \ $

$\ \rm MHz$

$G_{0} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-7} \ \rm V/Hz$

	System A,
	System B.

Musterlösung

Solution

(1) Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate. Der NRZ–Sendegrundimpuls von System A hat die Symboldauer $T = 0.5\ \rm \mu s$. Daraus ergibt sich für die Bitrate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.

(2) Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System A ergibt sich zu

$$E_{\rm B} = \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t = s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Die beiden ersten Aussagen treffen zu. In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein. Somit ergibt sich beim System A eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$. Beim System B ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.

Die letzte Aussage ist falsch: Ein Integrator besitzt eine rechteckförmige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System A anbieten, nicht jedoch für System B.

(4) Beim System B stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{d}(f)$ nahezu überein. Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt: Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.

Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm \mu s$ sein soll:

$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:

$$E_{\rm B} = \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f = G_0^2 \cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$

Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) folgt daraus:

$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_0 \hspace{0.1cm}\underline {= 5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$

(6) Das System A stellt auch bei Spitzenwertbegrenzung das optimale System dar. Dagegen wäre das System B aufgrund des äußerst ungünstigen Crestfaktors hierfür denkbar ungeeignet. Richtig ist also der Lösungsvorschlag 1.