Exercise 4.5: Irrelevance Theorem
Untersucht werden soll das durch die Grafik vorgegebene Kommunikationssystem. Die binäre Nachricht $m ∈ \{m_0, m_1\}$ mit gleichen Auftrittswahrscheinlichkeiten
- $${\rm Pr} (m_0 ) = {\rm Pr} (m_1 ) = 0.5$$
wird durch die beiden Signale
- $$s_0 = \sqrt{E_s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}s_1 = -\sqrt{E_s}$$
dargestellt, wobei die Zuordnungen $m_0 ⇔ s_0$ und $m_1 ⇔ s_1$ eineindeutig sind. Der Detektor (im Bild grün hinterlegt) liefert zwei Entscheidungswerte
- $$r_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s + n_1\hspace{0.05cm},$$
- $$r_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} n_1 + n_2\hspace{0.05cm},$$
aus denen der Entscheider die Schätzwerte $\mu ∈ \{m_0, m_1\}$ für die gesendete Nachricht $m$ bildet. Der Entscheider beinhaltet zwei Gewichtungsfaktoren $K_1$ und $K_2$, eine Summationsstelle und einen Schwellenwertentscheider mit der Schwelle bei $0$.
Betrachtet werden in dieser Aufgabe drei Auswertungen:
- Entscheidung basierend auf $r_1$ ($K_1 ≠ 0, K_2 = 0$),
- Entscheidung basierend auf $r_2$ ($K_1 = 0, K_2 ≠ 0$),
- gemeinsame Auswertung von $r_1$ und $r_2$ ($K_1 ≠ 0, K_2 ≠ 0$).
Die zwei Rauschquellen $n_1$ und $n_2$ seien voneinander unabhängig und auch unabhängig vom Sendesignal $s ∈ \{s_0, s_1\}$. $n_1$ und $n_2$ können jeweils durch AWGN–Rauschquellen (weiß, gaußverteilt, mittelwertfrei, Varianz $\sigma^2 = N_0/2$) modelliert werden. Verwenden Sie für numerische Berechnungen die Werte
- $$E_s = 8 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}N_0 = 10^{-6}\,{\rm W/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
Die Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion liefert folgende Ergebnisse:
- $${\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{1.35cm}{\rm Q}(2^{0.5}) = 0.786 \cdot 10^{-1}\hspace{0.05cm},\hspace{1.1cm}{\rm Q}(2) = 0.227 \cdot 10^{-1}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Q}(2 \cdot 2^{0.5}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.234 \cdot 10^{-2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Q}(4 \cdot 2^{0.5}) = 0.771 \cdot 10^{-8}\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Struktur des optimalen Empfängers dieses Buches.
- Insbesondere wird hier auf das Theorem der Irrelevanz Bezug genommen, daneben aber auch auf den Optimalen Empfänger für den AWGN–Kanal.
- Weitere Informationen zu den für diese Aufgabe relevanten Themen finden Sie unter folgenden Links:
- * Entscheidungsregeln für MAP– und ML–Empfänger,
- * Realisierung als Korrelationsempfänger bzw. Matched–Filter–Empfänger,
- * Bedingte Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen.
- Für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Systems $r = s + n$ (wegen $N = 1$ sind hier $s, n, r$ Skalare) gilt
- $$p_{\rm S} = {\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E_s}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm},$$
wobei ein binäres Nachrichtensignal $s ∈ \{s_0, s_1\}$ mit
- $$s_0 = \sqrt{E_s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}s_1 = -\sqrt{E_s}$$
vorausgesetzt wird und die zweiseitige Rauschleistungsdichte von $n$ konstant gleich $\sigma^2 = N_0/2$ ist.
Fragebogen
Musterlösung
