Exercise 1.10Z: Gaussian Band-Pass

Gaußförmiger Bandpasskanal

Für diese Aufgabe setzen wir voraus:

Zur Modulation wird binäre Phasenmodulation (BPSK) verwendet.
Die Demodulation erfolgt frequenz– und phasensynchron.

Bei trägerfrequenzmodulierter Übertragung muss der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ stets als Bandpass angesetzt werden. Die Kanalparameter sind zum Beispiel die Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ und die Bandbreite $\Delta f_{\rm K}$, wobei die Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ oft mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ übereinstimmt.

In dieser Aufgabe soll insbesondere von einem Gaußbandpass entsprechend der Grafik ausgegangen werden. Für dessen Frequenzgang gilt:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f - f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ] +{\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f + f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ]$$

Zur einfacheren Beschreibung benutzt man oft den äquivalenten TP–Frequenzgang $H_{\rm K,TP}(f)$. Dieser ergibt sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch

Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen,
Verschieben des Spektrums um $f_{\rm T}$ nach links.

Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit $f_{\rm T} = f_{\rm M}$ für den äquivalenten TP–Frequenzgang:

$$ H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) = {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {f }/{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 }.$$

Die entsprechende Zeitfunktion (Fouruerrücktransformierte) lautet:

$$ h_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(t) = \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 }.$$

Zur Beschreibung eines phasensynchronen BPSK–Systems im Tiefpassbereich eignet sich aber auch der Frequenzgang

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] ,$$

wobei „MKD” für Modulator – Kanal – Demodulator steht. Häufig – aber nicht immer – sind $H_{\rm MKD}(f)$ und $H_{\rm K,TP}(f)$ identisch.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Basisbandmodell für ASK und BPSK.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Für den Bandpass–Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ kann geschrieben werden:

$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) \star \left [ \delta (f - f_{\rm M}) + \delta (f + f_{\rm M}) \right ] .$$

Die Fourierrücktransformierte des Klammerausdrucks liefert eine Cosinusfunktion der Frequenz $f_{\rm M}$ mit der Amplitude 2. Nach dem Faltungssatz gilt somit:

$$h_{\rm K}(t) = 2 \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 \right ] \cdot \cos(2 \pi f_{\rm M} t ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm K}(t = 0)/\Delta f_{\rm K} \hspace{0.1cm}\underline {= 2}.$$

Das heißt: Die TP–Impulsantwort $h_{\rm K,TP}(t)$ ist formgleich mit der Hüllkurve der BP–Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$, aber doppelt so groß.

(2) Die erste Aussage ist falsch, da $H_{\rm MKD}(f)$ auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt. Die Zeitfunktion $h_{\rm K,TP}(t)$ ist entsprechend der angegebenen Gleichung reell. Gleiches gilt für $h_{\rm MKD}(t)$ auch unter Berücksichtigung der $\pm 2f_{\rm T}$–Anteile, da $H_{\rm MKD}(f)$ eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion ist. Richtig sind also die Aussagen 2, 3 und 4. Die Grafik zeigt den Frequenzgang $H_{\rm MKD}(f)$, der auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt. Bei tiefen Frequenzen ist $H_{\rm K,TP}(f)$ identisch mit $H_{\rm MKD}(f)$.

Resultierender Basisbandfrequenzgang

(3) Hier unterscheiden sich $H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ auch bei den tiefen Frequenzen. $H_{\rm K,TP}(f)$ ist eine Gaußfunktion mit dem Maximum bei $f_{ε} = f_{\rm M} – f_{\rm T}$. Aufgrund dieser Unsymmetrie ist $h_{\rm K,TP}(t)$ komplex. Dagegen ist $H_{\rm MKD}(f)$ weiterhin eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion mit reeller Impulsantwort $h_{\rm MKD}(t)$. $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich aus zwei Gaußfunktionen bei $± f_ε$ zusammen. Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 4.

Resultierender Basisbandfrequenzgang

(4) Richtig ist natürlich die erste Antwort.

	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ stimmen vollständig überein.
	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ sind für tiefe Frequenzen gleich.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm K,TP}(t)$ ist reell.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist reell.

	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ stimmen vollständig überein.
	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ sind für tiefe Frequenzen gleich.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm K,TP}(t)$ ist reell.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist reell.