Exercise 1.13: Binary Erasure Channel Decoding
Wir gehen hier von dem Modell auf der letzten Theorieseite im Kapitel 1.5 aus (grün hinterlegte BEC–Konfiguration):
- Jedes Informationswort u wird blockweise codiert und liefert das Codewort x. Der Blockcode sei linear und durch seine Prüfmatrix H vollständig gegeben.
- Bei der Übertragung werden $n_{\rm E}$ Bit des Codewortes ausgelöscht ⇒ Binary Erasure Channel (BEC). Aus dem Codewort x wird somit das Empfangswort y.
- Ist die Anzahl $n_{\rm E}$ der Auslöschungen kleiner als die minimale Distanz $d_{\rm min}$ des Codes, so gelingt es, aus y das Codewort $\underline{z} = \underline{x}$ ohne Fehler zu rekonstruieren, und man erhält so auch das richtige Informationswort $\underline{\upsilon} = \underline{u}$.
- Zur Aufgabenbeschreibung betrachten wir beispielhaft das Hamming–Codewort $\underline{x} = (0, 1, 0, 1, 1, 0, 0)$ und das Empfangswort $\underline{y} = (0, 1, E, E, 1, 0, 0).$
Ausgelöscht wurden somit durch den Kanal das dritte und vierte Bit. Der Codewortfinder hat somit die Aufgabe, den Vektor ${\rm z}_{\rm E} = ({\rm z}_{3}, {\rm z}_{4})$ mit ${\rm z}_{3}, {\rm z}_{4} \in$ {0, 1} zu bestimmen. Dies geschieht entsprechend der Gleichung
- $${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T}\hspace{0.05cm},$$
wobei im vorliegenden Beispiel gilt:
- $$\underline{z}_{\rm K} = (0, 1, 1, 0, 0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 1 &1\\ 0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Diese Gleichung liefert zwei Bestimmungsgleichungen für die zu bestimmenden Bits, deren Lösung zum Ergebnis ${\rm z}_{3} = 0$ und ${\rm z}_{4} = 1$ führt.
Hinweis:
Die Aufgabe gehört zu Kapitel Decodierung linearer Blockcodes Der Algorithmus zur Zuordnung des Empfangswortes y zum richtigen Codewort $\underline{z} = \underline{x}$ ist im Theorieteil ausführlich beschrieben. Wir möchten nochmals daran erinnern, dass wir bei der BEC–Decodierung den ersten Decoderblock $\underline{y} → \underline{z}$ als Codewortfinder bezeichnen, da hier Fehlentscheidungen ausgeschlossen sind. Jedes Empfangswort wird richtig decodiert, oder es kann gar nicht decodiert werden. Beim BSC–Modell lassen sich dagegen Decodierfehler nicht vermeiden. Dementsprechend heißt der entsprechende Block dort Codewortschätzer.
Fragebogen
Musterlösung
