Exercise 4.15: Optimal Signal Space Allocation

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Betrachtete 8–QAM

Betrachtet wird hier eine Signalraumkonstellation mit $M = 8$ Signalraumpunkten:

• Vier Punkte liegen auf einem Kreis mit Radius $r = 1$.
• Vier weitere Punkte liegen um $45^\circ$ versetzt auf einem zweiten Kreis mit Radius $R$, wobei gelten soll:

$$R_{\rm min} \le R \le R_{\rm max}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} R_{\rm min}= \frac{ \sqrt{3}-1}{ \sqrt{2}} \approx 0.518 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} R_{\rm max}= \frac{ \sqrt{3}+1}{ \sqrt{2}} \approx 1.932\hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Achsen (Basisfunktionen) seien jeweils normiert und werden vereinfachend mit $I$ und $Q$ bezeichnet. Zur weiteren Vereinfachung kann $E = 1$ gesetzt werden.

Im Fragebogen wird von blauen und roten Punkten gesprochen. Entsprechend der Grafik liegen die blauen Punkte auf dem Kreis mit Radius $r = 1$, die roten auf dem Kreis mit Radius $R$. Gezeichnet ist der Fall $R = R_{\rm max}$.

Der Systemparameter $R$ soll in dieser Aufgabe so bestimmt werden, dass der Quotient

$$\eta = \frac{ (d_{\rm min}/2)^2}{ E_{\rm B}}$$

maximal wird. $\eta$ ist ein Maß für die Güte eines Modulationsalphabets bei gegebener Sendeenergie pro Bit (Power Efficiency). Es berechnet sich aus

• der minimalen Distanz $d_{\rm min}$, und
• der Bitenergie $E_{\rm B}$.

Es ist darauf zu achten, dass $d_{\rm min}^2$ und $E_{\rm B}$ in gleicher Weise normiert sind, was aber bereits durch die Aufgabenstellung implizit gegeben ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Quadraturamplitudenmodulation und Mehrstufige Phasenmodulation.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die mittlere Energie $E_{\rm B}$ pro Bit abhängig von $R$, insbesondere für $R = 1$ und $R = \sqrt{2}$.

$R = 1 \text{:} \hspace{0.55cm} E_{\rm B}\ = \ $

$R = \sqrt{2} \text{:} \hspace{0.2cm} E_{\rm B}\ = \ $

2

Welche Aussagen gelten für den minimalen Abstand zweier Signalraumpunkte?

	Für $R < R_{\rm min}$ tritt die minimale Distanz zwischen zwei roten Punkten auf.
	Für $R > R_{\rm max}$ tritt die minimale Distanz zwischen zwei blauen Punkten auf.
	Für $R_{\rm min} ≤ R ≤ R_{\rm max}$ tritt die minimale Distanz zwischen „Rot” und „Blau” auf.

3

Berechnen Sie die minimale Distanz abhängig von $R$, insbesondere für

$R = 1 \text{:} \hspace{0.55cm} d_{\rm min}\ = \ $

$R = \sqrt{2} \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min}\ = \ $

4

Geben Sie die Leistungseffizienz $\eta$ allgemein an. Welches $\eta$ ergibt sich für $R = 1$?

$\eta\ = \ $

5

Welche Leistungseffizienzwerte ergeben sich für $R = R_{\rm min}$ und $R = R_{\rm max}$? Interpretation.

$R = R_{\rm min} \text{:} \hspace{0.35cm} \eta\ = \ $

$R = R_{\rm max} \text{:} \hspace{0.2cm} \eta\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Wegen $M = 8$  ⇒  $b = 3$ gilt für die mittlere Signalenergie pro Bit $E_{\rm B} = E_{\rm S}/3$, wobei die mittlere Signalenergie pro Symbol ($E_{\rm S}$) als der mittlere quadratische Abstand der Signalraumpunkte vom Ursprung zu berechnen ist. Mit $r = 1$ erhält man:

$$E_{\rm S} = {1}/{8 } \cdot ( 4 \cdot r^2 + 4 \cdot R^2) = ({1 + R^2})/{2 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B} = {E_{\rm S}}/{3} = ({1 + R^2})/{6} \hspace{0.05cm}.$$

Sonderfälle der 8–QAM

Insbesondere gilt:

• Für $R = 1$ ergibt sich eine 8–PSK und entsprechend $E_{\rm S} = 1$ und $E_{\rm B} \ \underline {= 1/3}$ (siehe linke Grafik).
• Die rechte Grafik zeigt die Signalraumkonstellation für „Wurzel aus 2”. In diesem Fall ist $E_{\rm B} \ \underline {= 1/2}$.

Anzumerken ist, dass diese Energien eigentlich noch mit der Normierungsenergie zu multiplizieren sind.
(2)  Alle Aussagen treffen zu:

• Im gezeichneten Beispiel auf dem Angabenblatt mit $R = R_{\rm max}$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten blauen Punkten genau so groß wie der Abstand zwischen einem roten (äußeren) und einem blauen (inneren) Punkt.
• Für $R > R_{\rm max}$ ist der Abstand zwischen zwei blauen Punkten am geringsten.
• Für $R < R_{\rm min}$ tritt der minimale Abstand zwischen zwei roten Punkten auf.

(3) 

Zur Berechnung der minimalen Distanz

Die Grafik verdeutlicht die geometrische Berechnung. Mit „Pythagoras” erhält man:

$$d_{\rm min}^2 =(R/\sqrt{2})^2 + (R/\sqrt{2}-1)^2 = 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}d_{\rm min} = \sqrt{ 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2} \hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere gilt für $R = 1$ (8–PSK):

$$d_{\rm min} = \sqrt{ 2 - \sqrt{2} } \hspace{0.1cm} \underline{= 0.765} \hspace{0.1cm} (= 2 \cdot \sin (22.5^{\circ}) ) \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ist für $\underline {R = \sqrt{2}}$ entsprechend der rechten Grafik zur Teilaufgabe (1) die minimale Distanz $d_{\rm min} \ \underline {= 1}$.

(4)  Mit den Ergebnissen von (1) und (3) erhält man allgemein bzw. für $R = 1$ (8–PSK):

$$\eta = \frac{ d_{\rm min}^2}{ 4 \cdot E_{\rm B}} = \frac{ 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2}{ 4 \cdot (1 + R^2)/6} = \frac{ 3/2 \cdot(1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2)}{ 1 + R^2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} R = 1: \hspace{0.2cm}\eta = \frac{ 3/2 \cdot(2 - \sqrt{2}) }{ 2} = 3/4 \cdot(2 - \sqrt{2})\hspace{0.1cm} \underline{\approx 0.439}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Für $R = R_{\rm min}$ ergibt sich folgender Wert:

$$\eta = \frac{ 3/2 \cdot(1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2)}{ 1 + R^2} = 3/2 \cdot \left [ 1 - \frac{ \sqrt{2} \cdot R }{ 1 + R^2}\right ]\hspace{0.05cm},$$

$$\sqrt{2} \cdot R = \sqrt{3}- 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 1 + R^2 = 3 - \sqrt{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta = 3/2 \cdot \left [ 1 - \frac{ \sqrt{3}- 1 }{ 3 - \sqrt{3}}\right ]\hspace{0.1cm} \underline{\approx 0.634}\hspace{0.05cm}.$$

Für $R = R_{\rm max}$ ergibt sich genau der gleiche Wert.

• Das (stets gewünschte) Maximum der Leistungseffizienz $\eta$ ergibt sich beispielsweise für $R = R_{\rm max}$ – also für die Signalraumkonstellation entsprechend dem Angabenblatt.
• In diesem Fall sind alle Dreiecke aus zwei benachbarten roten Punkten und dem dazwischenliegenden blauen Punkt gleichseitig.
• Auch für $R = R_{\rm min}$ ergeben sich gleichseitige Dreiecke, jetzt aber jeweils gebildet durch zwei blaue und einen roten Punkt.
• In diesem Fall ist zwar die Kantenlänge $d_{\rm min}$ deutlich kleiner, aber gleichzeitig ergibt sich auch ein kleineres $E_{\rm B}$, so dass die Leistungseffizienz $\eta$ den gleichen Wert besitzt.

Die vorher betrachteten Sonderfälle $R = 1$ (8–PSK, linke Grafik oben) und $R = 2^{\rm 0.5}$ (rechte Grafik) weisen mit $\eta = 0.439$ bzw. $\eta = 0.5$ (gegenüber $\eta = 0.634$) ein merklich kleineres $\eta$ auf.