Exercise 3.4: Systematic Convolution Codes

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Vorgegebene Filterstrukturen

Man spricht von einem systematischen Faltungscode der Rate $R = 1/2$  ⇒  $k = 1, \ n = 2$, wenn das Codebit $x_i^{(1)}$ gleich dem momentan anliegenden Informationsbit $u_i$ ist.

Die Übertragungsfunktionsmatrix eines solchen Codes lautet:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Der in der oberen Grafik dargestellte Coder A ist sicher nicht systematisch, da für diesen $G^{(1)}(D) ≠ 1$ gilt. Zur Herleitung der Matrix $\mathbf{G}(D)$ verweisen wir auf ein früheres Beispiel, in dem für unseren Standard–Rate–1/2–Coder mit Gedächtnis $m = 2$ ermittelt wurde:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) =$$

$$ \ = \ \hspace{-0.15cm} \big ( \hspace{0.05cm} 1 + D + D^2\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Der Coder A unterscheidet sich gegenüber diesem Beispiel nur durch Vertauschen der beiden Ausgänge. Lautet die Übertragungsfunktionsmatrix eines Codes

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm},$$

so gilt für die äquivalente systematische Repräsentation dieses Rate–1/2–Faltungscodes allgemein:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {G^{(2)}(D)}/{G^{(1)}(D)} \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

In der Teilaufgabe (3) ist zu prüfen, welcher der systematischen Anordnungen (entweder Code B oder Code C oder auch beide) äquivalent zum Code A ist.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf die Thematik von Kapitel 3.2.

Fragebogen

1

Wie lautet die Übertragungsfunktionsmatrix von Coder A?

	$\mathbf{G}(D) = (1 + D^2, \ 1 + D + D^2)$,
	$\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
	$\mathbf{G}(D) = (1, \ 1 + D + D^2)$.

2

Wie lautet die äquivalente systematische Übertragungsfunktionsmatrix?

	$\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
	$\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1, \ 1 + D + D^2)$,
	$\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1, \ (1 + D + D^2)/(1 + D^2))$.

3

Welcher Coder ist zu Coder A äquivalent und systematisch?

	Coder B,
	Coder C.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)