Exercise 1.08: Identical Codes
Wir betrachten einen Blockcode C, der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird:
- $${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Die Zuordnung zwischen den Informationsworten u und den Codeworten x kann der beiliegenden Tabelle entnommen werden. Man erkennt, dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt.
Durch Manipulation der Generatormatrix G lassen sich daraus identische Codes konstruieren. Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten, jedoch unterschiedlicher Zuordnung u → x. Folgende Operationen sind erlaubt, um einen identischen Code zu erhalten:
- Vertauschen oder Permutieren der Zeilen,
- Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich 0,
- Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
Für den in der Teilaufgabe 3) gesuchten Code $C_{\rm sys}$ ⇒ Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ wird weiter gefordert, dass er systematisch ist.
Hinweis :
Die Aufgabe bezieht sich vorwiegend auf die Seite Systematische Codes im Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes1.4. Bezug genommen wird zudem auf die so genannte Singleton–Schranke. Diese besagt, dass die minimale Hamming–Distanz eines $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist:
- $$d_{\rm min} \le n - k +1.$$
Fragebogen
Musterlösung
