Exercise 3.09: Basics of the Viterbi Algorithm

Zu analysierendes Trellis

Die Grafik zeigt ein Trellisdiagramm und definiert gleichzeitig die Fehlergrößen ${\it \Gamma}_i(S_0)$ und ${\it \Gamma}_i(S_1)$ zu den Zeitpunkten $i = 0$ bis $i = 5$. Aus diesem Trellis können zum Beispiel abgelesen werden:

die Coderate $R$,
das Gedächtnis $m$,
die freie Distanz $d_{\rm F}$,
die Informationssequenzlänge $L$,
die Sequenzlänge $L'$ inklusive der Terminierung.

In der Aufgabe ist weiter zu klären:

die Bedeutung des Endwertes ${\it \Gamma}_5(S_0)$,
Auswirkungen von einem bzw. zwei Übertragungsfehlern.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Decodierung von Faltungscodes.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3. Es gibt hier $2^{k \cdot m} = 2$ Zustände. Daraus folgt $k = 1$ und $m = 1$. Pro Codierschritt werden $n = 2$ Codebits ausgegeben ⇒ $R = 1/2$. Die Informationssequenzlänge ist $L = 4$. Erst durch ein (da $m = 1$) zusätzliches Terminierungsbit kommt man zur Gesamtlänge $L' = 5$.

(2) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ ist definiert als die Anzahl der Codebits, in denen sich zwei Sequenzen $\underline{x}$ und $\underline{x'}$ unterscheiden. Als Bezugssequenz wählen wir die Nullsequenz:

$$\underline{x}\hspace{0.03cm}' = \underline{0} = \big (00\hspace{0.05cm}, 00\hspace{0.05cm}, 00\hspace{0.05cm}, 00\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.1cm} \big ) \hspace{0.05cm},$$

ausgedrückt mit der Zustandsabfolge: $S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ ... \ $ Eine der Folgen $\underline{x} ≠ \underline{0}$, die sich von $\underline{0}$ nur in der minimalen Anzahl an Codebits unterscheidet, folgt dem Pfad $S_0 → S_1 → S_0 → S_0 → \ ... \$ : :'"`UNIQ-MathJax20-QINU`"' '''(3)''' Wird die Nullsequenz gesendet und diese auch empfangen, so kann die Viterbi–Decodierung durch das nachfolgende Trellis veranschaulicht werden. Der Endwert der Fehlergröße ist ${\it \Gamma}_5(S_0) = 0$, und der Viterbi–Decoder entscheidet mit Sicherheit richtig: $\underline{z} = \underline{x} ⇒ \underline{\upsilon} = \underline{u}$. [[File:P_ID2660__KC_A_3_9c.png|center|frame|Trellis ohne Fehler/mit 3 Fehlern]] Für das untere Trellis gehen wir ebenfalls von $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0) ⇒ \underline{x} = (00, \, 00, \, 00, \, 00, \, 00)$ aus. Empfangen wird aber nun $\underline{y} = (00, \, 00, \, 00, \, 11, \, 01)$. Trotzdem gilt ${\it \Gamma}_5(S_0) = 0$. Das Beispiel belegt, dass die beiden ersten Aussagen falsch sind. Richtig ist hier nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>, da das Ereignis „Kein Übertragungsfehler” sehr viel wahrscheinlicher ist als drei Fehler an genau vorgegebenen Positionen. '''(4)''' Richtig sind <u>alle Antworten</u>. Wenn man sicher weiß, dass nur ein Übertragungsfehler aufgetreten ist, funktioniert bei einem Faltungscode mit der freien Distanz $d_{\rm F} = 3$ der Viterbi–Algorithmus perfekt, egal, an welcher Position der Fehler aufgetreten ist.

(5) Keiner der Lösungsvorschläge ist richtig, wie aus den nachfolgenden Beispielen zu erkennen ist.

Trellis mit 2 Fehlern

	Es handelt sich um einen Rate–1/2–Faltungscode.
	Das Gedächtnis des Codes ist $m = 2$.
	Der Faltungscode ist terminiert.
	Die Länge der Informationssequenz ist $L = 5$.

	Es ist kein Übertragungsfehler aufgetreten.
	Das Decodierergebnis $\underline{\upsilon}$ ist mit Sicherheit richtig (gleich $\underline{u}$).
	Das Decodierergebnis minimiert die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{\upsilon} ≠ \underline{u}$).

	Der Fehlergrößenendwert ist ${\it \Gamma}_5(S_0) = 1$.
	Das Decodierergebnis $\underline{\upsilon}$ ist mit Sicherheit richtig (gleich $\underline{u}$).
	Das Decodierergebnis minimiert die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{\upsilon} ≠ \underline{u}$).