Exercise 3.13: Path Weighting Function again

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Auf der Seite 4c des Theorieteils zu Kapitel 3.5 wurde für das Beispiel unseres Rate–1/2–Standardcodes mit Gedächtnis $m = 2$ und der Übertragungsfunktionsmatrix

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big )$$

die Berechnung der Pfadgewichtsfunktionen sehr ausführlich beschrieben. Als Ergebnisse wurden genannt:

$$T_{\rm enh}(X, U) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{U\hspace{-0.05cm} X^5}{1- 2U\hspace{-0.05cm}X} =$$

$$\ = \ \hspace{-0.2cm} U\hspace{-0.05cm}X^5 \cdot \left [ 1 + (2U\hspace{-0.08cm}X) + (2U\hspace{-0.08cm}X)^2 + ... \hspace{0.05cm} \right ] \hspace{0.01cm},$$

$$T(X) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{X^5}{1- 2X} =$$

$$\ = \ \hspace{-0.2cm} X^5 \cdot \left [ 1 + (2X) + (2X)^2 + ... \hspace{0.05cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Nun sollen die gleichen Berechnungen für den Äquivalenten systematischen Code mit der Übertragungsfunktionsmatrix

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} (1 + D^2)/(1 + D + D^2) \hspace{0.05cm}\big )$$

durchgeführt werden.

Die Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm (A) und die Struktur des reduzierten Diagramms (B), wobei die Übergänge mit $A(X, \, U), \ ... \ , \ G(X, \, U)$ allgemein bezeichnet sind. In der Teilaufgabe (1) sollen diese Abkürzungen an das Zustandsübergangsdiagramm (A) angepasst werden.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken.
• Zur Lösung der Teilaufgaben (b) und (c) verweisen wir hier nochmals auf die Seite 4c im Theorieteil.

Fragebogen

1

Für welche Ausdrücke stehen die nachfolgenden Abkürzungen?

	$A(X, \, U) = UX^2$,
	$B(X, \, U) = UX$,
	$C(X, \, U) = X$,
	$D(X, \, U) = UX$,
	$E(X, \, U) = X$,
	$F(X, \, U) = 1$,
	$G(X, \, U) = UX^2$.

2

Welche Ausdrücke gelten für die erweiterte Pfadgewichtsfunktion?

	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 \ / \ (1 \, –2UX)$.
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 + 2 U^2X^6 + 4U^3X^7 + 8U^4X^8 + \ ... $,
	Keiner der Vorschläge ist richtig.

3

Welcher Ausdruck gilt für die „einfache” Pfadgewichtsfunktion?

	$T(X) = X^5 \ / \ (1 \, –2X)$.
	$T(X) = X^5 + 2X^6 + 4X^7 + 8X^8 + \ ... $
	Keiner der Vorschläge ist richtig.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)