Exercise 2.2: Properties of Galois Fields
Wir betrachten hier die Zahlenmengen
- $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\} \ \Rightarrow \ q = 5$,
- $Z_6 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4,\, 5\} \ \Rightarrow \ q = 6$.
In nebenstehender Grafik sind die (teilweise unvollständigen) Additions– und Multiplikationstabellen für $q = 5$ und für $q = 6$ angegeben, wobei sowohl die Addition („$+$”) als auch die Multiplikation („$\cdot$”) modulo $q$ zu verstehen sind.
Zu überprüfen ist, ob die Zahlenmengen $Z_5$ und $Z_6$ alle Bedingungen eines Galoisfeldes $\rm GF(5)$ bzw. $\rm GF(6)$ erfüllen. Im Theorieteil werden insgesamt acht Bedingungen genannt, die alle erfüllt sein müssen. Von Ihnen überprüft werden sollen nur zwei dieser Bedingungen:
(D) Für alle Elemente gibt es eine additive Inverse (Inverse for „$+$”):
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$
- $$\hspace{0.25cm}z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = 0 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_A}(z_i) = -z_i \hspace{0.05cm}.$$
(E) Alle Elemente haben eine multiplikative Inverse (Inverse for „$\cdot$”):
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne 0, \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$
- $$\hspace{0.25cm}z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1}\hspace{0.05cm}.$$
Die weiteren Bedingungen für ein Galoisfeld, nämlich
- Closure,
- Existenz von Null– und Einselelement,
- Gültigkeit von Kommutativ–, Assoziativ– und Distributivgesetz
werden sowohl von $Z_5$ als auch von $Z_6$ erfüllt.
Hinweis:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Einige Grundlagen der Algebra.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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