Exercise 2.2Z: Galois Field GF(5)
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Additions– und Multiplikationstabelle für $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$
Wie in Aufgabe A2.2 betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung $q = 5$ und damit das Galoisfeld
- $${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$
Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen. Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematische Ausdrücke. Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch
- eine Additionstabelle modulo 5,
- eine Multiplikationstabelle modulo 5,
Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf Theorieseite 1 zusammengestellt. In dieser Aufgabe wird Bezug genommen auf
- das Kommutativ– und das Distributivgesetz,
- die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,
- die inversen Elemente von Addition und Multiplikation, sowie
- die Bestimmung primitiver Elemente.
Im vorliegenden Beispiel wäre $\beta$ ein primitives Element, wenn $\beta^2, \ \beta^3$ und $\beta^4$ (allgemein: $\beta^{q-1})$ die übrigen Elemente des Galoisfeldes $\rm GF(5)$ mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels Einige Grundlagen der Algebra.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
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