Exercise 1.08Z: Equivalent Codes

• Return to book

Vier verschiedene
(6, 3)–Blockcodes

In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ charakterisiert werden:

• ${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

• ${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

• ${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

• ${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare

• systematisch sind,
• identisch sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
• äquivalent sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).

Hinweise :

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Systematische Codes sowie Identische Codes .
• Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Prüfgleichungen, so entspricht dies einer Vertauschung von Zeilen.

Fragebogen

1

Welche der nachfolgend aufgeführten Codes sind systematisch?

	Code A,
	Code B,
	Code C,
	Code D.

2

Welche der vorgegebenen Codepaare sind identisch?

	Code A und Code B,
	Code B und Code C,
	Code C und Code D.

3

Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent, aber nicht identisch?

	Code A und Code B,
	Code B und Code C,
	Code C und Code D.

4

Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen $G_{\rm B}$ und $G_{\rm C}$?

	Durch verschiedene Linearkombinationen verschiedener Zeilen.
	Durch zyklische Vertauschung der Zeilen um 1 nach unten.
	Durch zyklische Vertauschung der Spalten um 1 nach rechts.

5

Bei welchen Codes gilt ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$?

	Code A,
	Code B,
	Code C,
	Code D.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Antworten 1, 3 und 4:

• Für einen systematischen (6, 3)–Blockcode muss gelten:

$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Bedingung erfüllen die Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.

(2)  Nur Code A und Code B sind identische Codes $\Rightarrow$ Antwort 1. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$. Wie in der Musterlösung zur Aufgabe A1.08 (3) angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$ allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen oder durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.

(3)  Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch. Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.

Richtig ist somit allein Antwort 2. Code B und Code C haben gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.

(4)  Richtig ist Antwort 3:

• Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
• Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
• Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.

(5)  Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes $\Rightarrow$ Alle Aussagen treffen zu.